Question

如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是矩形，AB∥EF，∠EAB=90°，AB=2，AD=AE=EF=1，平面ABFE⊥平面ABCD．
（1）求直線(xiàn)FD與平面ABCD所成的角的正切值；
（2）求點(diǎn)D到平面BCF的距離；
（3）求二面角B-FC-D的大小．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)面與面垂直的性質(zhì)定理．得到線(xiàn)與面垂直，有面的垂線(xiàn)后面再做線(xiàn)與面的角，就好做了，得到線(xiàn)面角，在一個(gè)可解的三角形中，求出線(xiàn)面角的正切值．
（2）結(jié)合圖形建立坐標(biāo)系，寫(xiě)出要用的點(diǎn)的坐標(biāo)，做出面的法向量，和要用的直線(xiàn)的對(duì)應(yīng)的向量，根據(jù)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式得到結(jié)果．
（3）在圖形中的坐標(biāo)系的基礎(chǔ)上，寫(xiě)出要用的兩個(gè)平面的法向量，求出法向量的坐標(biāo)，其中有一個(gè)平面的法向量不用求出，是圖形中存在的一個(gè)向量，求出兩個(gè)平面所成的角．
解答：解：（1）∵平面ABFE⊥平面ABCD，∠EAB=90°，
即EA⊥AB，而平面ABFE∩平面ABCD=AB，
∴EA⊥平面ABCD．作FH∥EA交AB于H，則FH⊥平面ABCD．
連接DH，則∠FDH為直線(xiàn)FD與平面ABCD所成的角．
在Rt△FHD中，∵FH=EA=1，DH=，
∴
（2）∵平面ABFE⊥平面ABCD，EA⊥AB，
∴EA⊥平面ABCD．
分別以AD，AB，AE所在直線(xiàn)為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則A（0，0，0）、D（1，0，0）、C（1，2，0）、E（0，0，1）、B（0，2，0）、
F（0，1，1），
∴．
∵，∴⊥平面BCF，
即=（0，1，1）為平面BCF的一個(gè)法向量，
又，
∴點(diǎn)D到平面BCF的距離為．
（3）∵，設(shè)為平面CDEF的一個(gè)法向量，則令x=1，得z=1，
即．
又（1）知，為平面BCF的一個(gè)法向量，
∵＜，＞=，
且二面角B-FC-D的平面角為鈍角，
∴二面角B-FC-D的大小為120°．

點(diǎn)評(píng)：本題是一個(gè)立體幾何的綜合題目，考查的幾個(gè)大的知識(shí)點(diǎn)，解題時(shí)要注意求線(xiàn)面角時(shí)注意用向量所求的是線(xiàn)面角的正弦值，不要出錯(cuò)．