Question

9．如圖，已知四邊形ABCD是矩形，AB=2BC=2，三角形PCD是正三角形，且平面ABCD⊥平面PCD．
（Ⅰ）若O是CD的中點，證明：BO⊥PA；
（Ⅱ）求二面角B-PA-D的正弦值．
（Ⅲ）在線段CP上是否存在點Q，使得直線AQ與平面ABP所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{3}}{8}$，若存在，確定點Q的位置，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過建立空間直角坐標系，利用異面直線的方向向量的夾角即可證明；
（Ⅱ）利用兩個平面的法向量的夾角即可得出二面角的大小；
（Ⅲ）設出Q的坐標，利用向量方法，即可求解．

解答 （Ⅰ）證明：∵平面 ABCD⊥平面 PCD，平面 ABCD∩平面 PCD=CD，四邊形 ABCD 是矩形．
∴AD⊥平面PCD，BC⊥平面PCD，
若O是CD 的中點，OP⊥CD．OP=$\sqrt{3}$．
建立如圖所示的空間直角坐標系，AB=2BC=2．
則O（0，0，0），B（1，0，1），A（-1，0，1），
P（0，$\sqrt{3}$，0）．
∴$\overrightarrow{OB}$=（1，0，1），$\overrightarrow{PA}$=（-1，-$\sqrt{3}$，1）．
∴$\overrightarrow{OB}$•$\overrightarrow{PA}$═0，
∴$\overrightarrow{OB}$⊥$\overrightarrow{PA}$，∴BO⊥PA．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知：$\overrightarrow{AB}$=（2，0，0）．
設平面BPA的法向量為$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（x，y，z），
由$\left\{\begin{array}{l}{-x-\sqrt{3}y+z=0}\\{2x=0}\end{array}\right.$，取y=1，
平面BPA的一個法向量為$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（0，1，$\sqrt{3}$）．
取$\overrightarrow{DA}$=（0，0，1），設平面PAD的法向量為$\overrightarrow{{n}_{2}}$=（a，b，c），
則$\left\{\begin{array}{l}{c=0}\\{-a-\sqrt{3}b+c=0}\end{array}\right.$，取b=1，則$\overrightarrow{{n}_{2}}$=（-$\sqrt{3}$，1，0）．
∴cos＜$\overrightarrow{{n}_{1}}$，$\overrightarrow{{n}_{2}}$＞=$\frac{1}{2•2}$=$\frac{1}{4}$，
由圖可以看出：二面角B-PA-D 是一個鈍角，故其余弦值為-$\frac{1}{4}$，正弦值為$\frac{\sqrt{15}}{4}$．
（Ⅲ）解：假設存在Q，直線AQ與平面ABP所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{3}}{8}$，
直線AQ與平面ABP的法向量所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{3}}{8}$．
設Q（m，$\sqrt{3}$（1-m），0），則$\overrightarrow{AQ}$=（m+1，$\sqrt{3}$（1-m），-1），
∴$\frac{\sqrt{3}m}{2\sqrt{（m+1）^{2}+3（1-m）^{2}+1}}$=$\frac{\sqrt{3}}{8}$，∴12m²-4m+5=0，方程無解，
∴在線段CP上不存在點Q，使得直線AQ與平面ABP所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{3}}{8}$．

點評 熟練掌握通過建立空間直角坐標系，利用異面直線的方向向量的夾角=0證明異面直線垂直；利用兩個平面的法向量的夾角得出二面角的方法．