已知圓C：x2＋(y－2)2＝5，直線l：mx－y＋1＝0.

(1)求證：對m∈R，直線l與圓C總有兩個(gè)不同交點(diǎn)；

(2)若圓C與直線l相交于A，B兩點(diǎn)，求弦AB的中點(diǎn)M的軌跡方程．

 

（1）見解析 （2）x2＋(y－)2＝

【解析】(1)解法一：直線mx－y＋1＝0恒過定點(diǎn)(0,1)，且點(diǎn)(0,1)在圓C：x2＋(y－2)2＝5的內(nèi)部，

所以直線l與圓C總有兩個(gè)不同交點(diǎn)．

解法二：聯(lián)立方程，消去y并整理，得

(m2＋1)x2－2mx－4＝0.

因?yàn)棣ぃ?m2＋16(m2＋1)>0，所以直線l與圓C總有兩個(gè)不同交點(diǎn)．

解法三：圓心C(0,2)到直線mx－y＋1＝0的距離d＝＝≤1<，

所以直線l與圓C總有兩個(gè)不同交點(diǎn)．

(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x，y)，聯(lián)立直線與圓的方程得(m2＋1)x2－2mx－4＝0，

由根與系數(shù)的關(guān)系，得x＝＝，

由點(diǎn)M(x，y)在直線mx－y＋1＝0上，當(dāng)x≠0時(shí)，得m＝，代入x＝，得x[()2＋1]＝，

化簡得(y－1)2＋x2＝y(tǒng)－1，即x2＋(y－)2＝.

當(dāng)x＝0，y＝1時(shí)，滿足上式，故M的軌跡方程為x2＋(y－)2＝.

 

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

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已知橢圓＋＝1的焦點(diǎn)是F1，F(xiàn)2，如果橢圓上一點(diǎn)P滿足PF1⊥PF2，則下面結(jié)論正確的是(　　)

A．P點(diǎn)有兩個(gè) B．P點(diǎn)有四個(gè)

C．P點(diǎn)不一定存在 D．P點(diǎn)一定不存在

 

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已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，它的一條漸近線與x軸的夾角為α，且<α<，則雙曲線的離心率的取值范圍是________．

 

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橢圓＋＝1(a>b>0)的兩頂點(diǎn)為A(a,0)，B(0，b)，且左焦點(diǎn)為F，△FAB是以角B為直角的直角三角形，則橢圓的離心率e為(　　)

A． B． C． D．

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2015高考數(shù)學(xué)（理）一輪配套特訓(xùn)：8-4直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系（解析版） 題型：填空題

設(shè)m，n∈R，若直線l：mx＋ny－1＝0與x軸相交于點(diǎn)A，與y軸相交于點(diǎn)B，且l與圓x2＋y2＝4相交所得弦的長為2，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△AOB面積的最小值為________．

 

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直線y＝x＋b與曲線x＝有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則b的取值范圍是(　　)

A．{b|b＝±}

B．{b|－1<b≤1或b＝－}

C．{b|－1≤b≤}

D．{b|－<b<1}

 

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若圓O的半徑為3，直徑AB上一點(diǎn)D使＝3，E、F為另一直徑的兩個(gè)端點(diǎn)，則＝(　　)

A．－3 B．－4 C．－6 D．－8

 

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將一張坐標(biāo)紙折疊一次，使得點(diǎn)(0,2)與點(diǎn)(4,0)重合，點(diǎn)(7,3)與點(diǎn)(m，n)重合，則m＋n＝(　　)

A．4 B．6 C． D．

 

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在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M、N分別為棱AA1和BB1的中點(diǎn)，則sin〈，〉的值為(　　)

A. B. C. D.

 

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