Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，對任意的k∈N^*，a_2k-1、a_2k、a_2k+1成等比數(shù)列，公比為q_k；a_2k、a_2k+1、a_2k+2成等差數(shù)列，公差為d_k，且d₁=2．
（1）寫出數(shù)列{a_n}的前四項；
（2）設(shè)bk=

1

qk-1

，求數(shù)列{b_k}的通項公式；
（3）求數(shù)列{d_k}的前k項和D_k．

Answer 1

考點：等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由題意得

a22=a1a3 a3=a2+2

，求出a₂=2或a₂=-1，即可寫出數(shù)列{a_n}的前四項；
（2）由a_2k，a_2k+1，a_2k+2成等差數(shù)列，其公差為d_k，知2a_2k+1=a_2k+a_2k+2，從而能夠證明{b_k}是等差數(shù)列，且公差為1．
（3）由d₁=2，得a₃=a₂+2，解得a₂=2，或a₂=-1．由此進(jìn)行分類討論，能夠求出D_k．

解答： 解：（1）由題意得

a22=a1a3 a3=a2+2

，∴a22=a2+2，a₂=2或a₂=-1．…（2分）
故數(shù)列{a_n}的前四項為1，2，4，6或1，-1，1，3．…（4分）
（2）∵a_2k-1，a_2k，a_2k+1成公比為q_k的等比數(shù)列，a_2k+1，a_2k+2，a_2k+3成公比為q_k+1的等比數(shù)列，
∴a_2k+1=a_2kq_k，a_2k+2=a_2k+1q_k+1
又∵a_2k，a_2k+1，a_2k+2成等差數(shù)列，
∴2a_2k+1=a_2k+a_2k+2．
得2a2k+1=

a2k+1

qk

+a2k+1qk+1，2=

1

qk

+qk+1，…（6分）
∴

qk-1

qk

=qk+1-1，
∴

1

qk+1-1

=

qk

qk-1

=1+

1

qk-1

，

1

qk+1-1

-

1

qk-1

=1，即b_k+1-b_k=1．
∴數(shù)列{b_k}為公差d=1等差數(shù)列，且b1=

1

q1-1

=1或b1=

1

q1-1

=-

1

2

．…（8分）
∴b_k=b₁+（k-1）•1=k或bk=k-

3

2

．…（10分）
（3）當(dāng)b₁=1時，由（2）得bk=

1

qk-1

=k，qk=

k+1

k

.

a2k+1

a2k-1

=(

k+1

k

)2，a2k+1=

a2k+1

a2k-1

•

a2k-1

a2k-3

…

a3

a1

•a1=(

k+1

k

)2•(

k

k-1

)2…(

2

1

)2•1=(k+1)2，a2k=

a2k+1

qk

=k(k+1)，dk=a2k+1-a2k=

a2k+1

qk

=k+1，Dk=

k(k+3)

2

．…（13分）
當(dāng)b1=-

1

2

時，同理可得d_k=4k-2，Dk=2k2．…（16分）

點評：本題考查數(shù)列的前n項和的計算，等差數(shù)列的證明，綜合性強，難度大，是高考的重點．解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意計算能力的培養(yǎng)．