Question

5．若函數(shù)f（x）=（x²-$\frac{3}{2}$x）e^x-m有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（　�。�

• A． （0，$\frac{9}{2}$e${\;}^{-\frac{3}{2}}$）
• B． （-$\frac{e}{2}$，0]
• C． （$\frac{9}{2}$e${\;}^{-\frac{3}{2}}$，+∞）
• D． （-$\frac{e}{2}$，$\frac{9}{2}$e${\;}^{-\frac{3}{2}}$]

Answer 1

分析 函數(shù)f（x）=（x²-$\frac{3}{2}$x）e^x-m有三個(gè)零點(diǎn)，即：方程（x²-$\frac{3}{2}$x）e^x=m有三個(gè)根，令g（x）=（x²-$\frac{3}{2}$x）e^x，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)g（x）單調(diào)性，結(jié)合圖象即可求解．

解答 解：函數(shù)f（x）=（x²-$\frac{3}{2}$x）e^x-m有三個(gè)零點(diǎn)，即：方程（x²-$\frac{3}{2}$x）e^x=m有三個(gè)根，
令g（x）=（x²-$\frac{3}{2}$x）e^x，
∴g′（x）=e^x（x²+$\frac{1}{2}$x-$\frac{3}{2}$）=0，∴x=1或x=-$\frac{3}{2}$，
∴當(dāng)x∈（-∞，-$\frac{3}{2}$）時(shí)，g（x）單調(diào)遞增，
當(dāng)x∈（-$\frac{3}{2}$，1）時(shí)，g（x）單調(diào)遞減，當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，g（x）單調(diào)遞增；


∴x=-$\frac{3}{2}$時(shí)，g（x）_max=g（-$\frac{3}{2}$）=$\frac{9}{2}$e${\;}^{-\frac{3}{2}}$，
x=1時(shí)，g（x）_min=g（1）=-$\frac{1}{2}$e^-1，
結(jié)合圖象可得m∈（0，$\frac{9}{2}$e${\;}^{-\frac{3}{2}}$），
故選：A

點(diǎn)評(píng) 本小題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值等基本知識(shí)，考查運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的方法，考查運(yùn)算能力，考查函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)與整合等數(shù)學(xué)思想方法和分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題，