Question

（本小題滿分14分）已知橢圓：的離心率是，其左、右頂點分別為，，為短軸的端點，△的面積為．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）為橢圓的右焦點，若點是橢圓上異于，的任意一點，直線，與直線分別交于，兩點，證明：以為直徑的圓與直線相切于點．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）．（Ⅱ）證明：見解析。

【解析】本試題主要是考查了橢圓的方程的求解，以及直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合運用，

（1）運用橢圓的性質(zhì)得到橢圓的參數(shù)a,b,c的關(guān)系式，從而得到橢圓的方程。

（2）設(shè)出直線方程與橢圓的方程聯(lián)立方程組，然后結(jié)合韋達(dá)定理和向量的數(shù)量積公式得到結(jié)論。

（Ⅰ）解：由已知         解得，．    …4分

   故所求橢圓方程為．              …………5分

（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知，，．設(shè)，則．  于是直線方程為 ，令，得；所以，同理．   所以，.所以

    ．

  所以 ，點在以為直徑的圓上．       …………10分

  設(shè)的中點為，則．          …………11分

又，

所以

．

所以 ．  因為是以為直徑的圓的半徑，為圓心，，

故以為直徑的圓與直線相切于右焦點．    …………14分