Question

8．如果冪函數(shù)f（x）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（2，8），則f（3）=27．設(shè)g（x）=f（x）+x-m，若函數(shù)g（x）在（2，3）上有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是10＜m＜30．

Answer 1

分析 設(shè)冪函數(shù)f（x）=x^α，把點(diǎn)（2，8）代入函數(shù)的解析式，求得α的值，即可得到函數(shù)的解析式，從而求出f（3）的值，求出g（x）的導(dǎo)數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)零點(diǎn)定理得到g（2）＜0且g（3）＞0，解出即可．

解答 解：設(shè)冪函數(shù)f（x）=x^α，
把點(diǎn)（2，8）代入函數(shù)的解析式可得2^α=8，
解得 α=3，故函數(shù)的解析式為f（x）=x³，
故f（3）=27，
g（x）=f（x）+x-m=x³+x-m，
g′（x）=3x²+1＞0，
故g（x）在（2，3）遞增，
若函數(shù)g（x）在（2，3）上有零點(diǎn)，
只需$\left\{\begin{array}{l}{g（2）=10-m＜0}\\{g（3）=30-m＞0}\end{array}\right.$，
解得：10＜m＜30，
故答案為：27，10＜m＜30．

點(diǎn)評 本題考查了冪函數(shù)的定義，考查函數(shù)的零點(diǎn)問題以及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．