Question

17．已知函數(shù)f（x）=ax²-lnx，a∈R．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）是否存在實(shí)數(shù)a，使函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，e]上的最小值為$\frac{3}{2}$，若存在，求出a的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=x²-lnx，${f}^{'}（x）=2x-\frac{1}{x}$，由此利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義能求出函數(shù)f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程．
（Ⅱ）f（x）=ax²-lnx，a∈R的定義域?yàn)椋?，+∞），${f}^{'}（x）=2ax-\frac{1}{x}$=$\frac{2a{x}^{2}-1}{x}$，根據(jù)a≤0，a＞$\frac{1}{2{e}^{2}}$，0＜a≤$\frac{1}{2{e}^{2}}$分類討論，能求出存在a=$\frac{{e}^{2}}{2}$，使函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，e]上的最小值為$\frac{3}{2}$．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=x²-lnx，f（1）=1，
${f}^{'}（x）=2x-\frac{1}{x}$，f′（1）=1，
∴函數(shù)f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為x-y=0．
（Ⅱ）∵f（x）=ax²-lnx，a∈R，∴此函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞），
${f}^{'}（x）=2ax-\frac{1}{x}$=$\frac{2a{x}^{2}-1}{x}$，
當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）＜0恒成立，∴f（x）在（0，e]上是減函數(shù)，
∴當(dāng)x=e時(shí)，f（x）取得最小值f（e）=ae²-1=$\frac{3}{2}$，
解得a=$\frac{5}{2{e}^{2}}$＞0與a≤0矛盾；
當(dāng)a＞0時(shí)，令f′（x）=0，得${x}_{1}=-\frac{1}{\sqrt{2}a}$，${x}_{2}=\frac{1}{\sqrt{2}a}$，
在（0，$\frac{1}{\sqrt{2}}$）上，f′（x）＜0，在（$\frac{1}{\sqrt{2}a}$，+∞）上，f′（x）＞0，
∴當(dāng)$\frac{1}{\sqrt{2}a}$＜e，即a＞$\frac{1}{2{e}^{2}}$時(shí)，函數(shù)f（x）在（0，$\frac{1}{\sqrt{2a}}$）上是減函數(shù)，在（$\frac{1}{\sqrt{2a}}$，e）上是增函數(shù)，
∴當(dāng)x=$\frac{1}{\sqrt{2a}}$時(shí)，f（x）取得最小值$\frac{1}{2}-ln\frac{1}{\sqrt{2a}}$，
令$\frac{1}{2}-ln\frac{1}{\sqrt{2a}}$=$\frac{3}{2}$，得a=$\frac{{e}^{2}}{2}$，符合題意．
當(dāng)$\frac{1}{\sqrt{2a}}$≥e，即0＜a≤$\frac{1}{2{e}^{2}}$時(shí)，函數(shù)f（x）在（0，e]是減函數(shù)，
∴當(dāng)x=e時(shí)，f（x）取得最小值，即ae²-1=$\frac{3}{2}$，
解得a=$\frac{5}{2{e}^{2}}$與0＜a≤$\frac{1}{2{e}^{2}}$矛盾．
綜上，存在a=$\frac{{e}^{2}}{2}$，使函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，e]上的最小值為$\frac{3}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查切線方程的求法，考查滿足條件的實(shí)數(shù)值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．