Question

6．已知f（x）=sinx+2cosx，若函數(shù)g（x）=f（x）-m在x∈（0，π）上有兩個(gè)不同零點(diǎn)α、β，則cos（α+β）=-$\frac{3}{5}$．

Answer 1

分析 f（x）=sinx+2cosx=$\sqrt{5}$sin（x+φ），其中cosφ=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，sinφ=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．由x∈（0，π），可得φ＜x+φ＜π+φ．由于函數(shù)g（x）=f（x）-m在x∈（0，π）上有兩個(gè)不同零點(diǎn)α、β，可得y=m與y=f（x）的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，可得α與β關(guān)于直線x=$\frac{π}{2}$對(duì)稱，即可得出．

解答 解：f（x）=sinx+2cosx=$\sqrt{5}$$（\frac{1}{\sqrt{5}}sinx+\frac{2}{\sqrt{5}}cosx）$=$\sqrt{5}$sin（x+φ），其中cosφ=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，sinφ=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
∵x∈（0，π），∴φ＜x+φ＜π+φ．
∵函數(shù)g（x）=f（x）-m在x∈（0，π）上有兩個(gè)不同零點(diǎn)α、β，
∴y=m與y=f（x）的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，
cos2φ=2cos²φ-1=$2×（\frac{\sqrt{5}}{5}）^{2}$-1=-$\frac{3}{5}$
∴sinφ＜m＜$\sqrt{5}$．
且α與β關(guān)于直線x=$\frac{π}{2}$對(duì)稱，
∴α+β+2φ=π，
則cos（α+β）=-cos2φ=-$\frac{3}{5}$．
故答案為：-$\frac{3}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了和差公式、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、函數(shù)的零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為圖象的交點(diǎn)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．