Question

12．已知函數(shù)f（x）=x³-3x²-9x．
（Ⅰ）求曲線f（x）在x=1處的切線方程．
（Ⅱ）若不等式f（x）-3k≤0對任意x∈[-2，4]恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出原函數(shù)的導函數(shù)，得到函數(shù)在x=1處的導數(shù)，再求出f（1），利用直線方程的點斜式得答案；
（Ⅱ）由f（x）-3k≤0，得x³-3x²-9x-3k≤0，分離參數(shù)k得k≥$\frac{1}{3}{x}^{3}-{x}^{2}-3x$．令g（x）=$\frac{1}{3}{x}^{3}-{x}^{2}-3x$，利用導數(shù)求出其在x∈[-2，4]上的最大值得答案．

解答 解：（Ⅰ）由f（x）=x³-3x²-9x，得f′（x）=3x²-6x-9，
∴f′（1）=-12，又f（1）=-11．
∴曲線f（x）在x=1處的切線方程為：y+11=-12（x-1），即12x+y-1=0；
（Ⅱ）由f（x）-3k≤0，得x³-3x²-9x-3k≤0，
即k≥$\frac{1}{3}{x}^{3}-{x}^{2}-3x$．
令g（x）=$\frac{1}{3}{x}^{3}-{x}^{2}-3x$，
則g′（x）=x²-2x-3，由g′（x）=0，得x₁=-1，x₂=3．
∴當x∈（-2，-1），（3，4）時，g′（x）＞0，g（x）為增函數(shù)，
當x∈（-1，3）時，g′（x）＜0，g（x）為減函數(shù)．
∵g（-1）=$\frac{5}{3}$，g（4）=$-\frac{20}{3}$．
∴在x∈[-2，4]時，$g（x）_{max}=\frac{5}{3}$．
∴若不等式f（x）-3k≤0對任意x∈[-2，4]恒成立，則k的取值范圍是[$\frac{5}{3}，+∞$）．

點評 本題考查利用導數(shù)研究過曲線上某點處的切線方程，考查了利用導數(shù)求函數(shù)的最值，訓練了分離變量法求參數(shù)的取值范圍，是中檔題．