如圖，橢圓C：
x2
4
+
y2
m
=1（0＜m＜4）的左頂點為A，M是橢圓C上異于點A的任意一點，點P與點A關(guān)于點M對稱．
（1）若點P的坐標(biāo)為（4，3），求m的值；
（2）若橢圓C上存在點M，使得OP⊥OM，求實數(shù)m的最大值．
考點：直線與圓錐曲線的關(guān)系,基本不等式在最值問題中的應(yīng)用,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析：（1）依題意，M是線段AP的中點，求出M的坐標(biāo)，代入橢圓方程，即可求m的值；
（2）設(shè)M（x0，y0），則
x
2
0
4
+
y
2
0
m
=1，因為OP⊥OM，所以x0(2x0+2)+2y02=0．兩式聯(lián)立，表示出m，利用基本不等式即可得出結(jié)論．
解答： 解：（1）依題意，M是線段AP的中點，
因為A（-2，0），P（4，3），
所以點M的坐標(biāo)為(1，
3
2
)．
由點M在橢圓C上，所以
1
4
+
9
4m
=1，
解得m=3．
（2）設(shè)M（x0，y0），則
x
2
0
4
+
y
2
0
m
=1①，由題意知-2＜x0＜2．
因為M是線段AP的中點，所以P（2x0+2，2y0）．
因為OP⊥OM，所以x0(2x0+2)+2y02=0．②
由①②消去y0，整理可得m=
4x0(x0+1)
x02-4
=4+
4
(x0+4)+
12
x0+4
-8
≤2-
3
，
當(dāng)且僅當(dāng)x0=-4+2
3
時，等號成立，
因為0＜m＜4，
所以m的最大值是2-
3
．
點評：本題考查橢圓方程，考查基本不等式的運用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，正確表示點的坐標(biāo)是關(guān)鍵．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2-1，證明函數(shù)f（x）在（-∞，0）的單調(diào)性．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知{an}是正數(shù)組成的數(shù)列，a1=1，且點(
an
，an+1)（n∈N*）在函數(shù)y=x2+1的圖象上．
（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項公式；
（Ⅱ）若數(shù)列{bn}滿足b1=1，bn+1=bn+2an，求數(shù)列{bn}的通項．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程】
在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為
x=1+
4
5
t
y=-1-
3
5
t
（t為參數(shù)），若以O(shè)為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，則曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=
2
cos（θ+
π
4
）．
（1）求直線l的普通方程與曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（2）求直線l被曲線C所截得的弦長．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在(3x-
1
x
x
)n（n∈N*）的展開式中
（1）若各項系數(shù)之和為256，求n的值；
（2）若含有常數(shù)項，求最小的n的值，并求此時展開式中的有理項．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若sin（
3
4
π+α）=
5
13
，cos（
π
4
-β）=
3
5
，且0＜α＜
π
4
＜β＜
3π
4
，求cos（α+β）值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上．若橢圓上的點A(1，
3
2
)到焦點F1、F2的距離之和等于4．
（1）寫出橢圓C的方程和焦點坐標(biāo)．
（2）過點Q（1，0）的直線與橢圓交于兩點M、N，當(dāng)△OMN的面積取得最大值時，求直線MN的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x|x-a|，（a∈R），若a=2，解關(guān)于x的不等式f（x）＜x．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若a+b+c=1，a，b，c∈R+，
4a+1
+
4b+1
+
4c+1
≤m，則m最小值是
 
．

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