Question

甲將經(jīng)營的某淘寶店以57.2萬元的優(yōu)惠價(jià)格轉(zhuǎn)讓給了尚有40萬元無息貸款沒有償還的乙，并約定從該店經(jīng)營的利潤中，逐步償還轉(zhuǎn)讓費(fèi)（不計(jì)息），直到還清．已知：①這種消費(fèi)品的進(jìn)價(jià)每件14元；②該店月銷量Q（百件）與銷售單價(jià)P（元/件）的關(guān)系如圖所示的折線段；③該店每月需各種開支2000元．
（Ⅰ）寫出月銷量Q（百件）與銷售單價(jià)P（元/件）的關(guān)系，并求該店的月利潤L（元）關(guān)于銷售單價(jià)P（元/件）的函數(shù)關(guān)系式（該店的月利潤=月銷售利潤-該店每月支出，不包括轉(zhuǎn)讓費(fèi)及貸款）；
（Ⅱ）當(dāng)商品的價(jià)格為每件多少元時(shí)，該店的利潤最大？并求該店的月利潤的最大值；
（Ⅲ）若乙只依靠該店，最早可望在多少年后無債務(wù)？

Answer 1

考點(diǎn)：分段函數(shù)的應(yīng)用,函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用

專題：計(jì)算題,應(yīng)用題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）運(yùn)用分段函數(shù)的形式寫出Q的表達(dá)式，再由L=Q（P-14）×100-2000，寫出L的分段函數(shù)形式；
（Ⅱ）分別求出各段的最大值，比較即可得到最大值；
（Ⅲ）設(shè)可在n年后脫貧（無債務(wù)），依題意有，12n×4050-572000-400000≥0，解出即可．

解答： 解：（Ⅰ）Q=

-2P+50，14≤P≤20 - 3 2 P+40，20＜P≤26

，
則L=Q（P-14）×100-2000
因此，L=

(50-2P)(P-14)×100-2000，14≤P≤20 (40- 3 2 P)(P-14)×100-2000，20＜P≤26

．
（Ⅱ）當(dāng)14≤P≤20時(shí)，L=-2（P-

39

2

）²+4050，
則當(dāng)p=

39

2

時(shí)，L_max=4050；
當(dāng)20＜P≤26時(shí)，L=-

3

2

（x-

61

3

）²+4016

2

3

，
當(dāng)x=

61

3

時(shí)，L_max=4016

2

3

，
由于4050＞4016

2

3

，所以當(dāng)P=19.5元時(shí)，月利潤最大，為4050元；
（Ⅲ）設(shè)可在n年后脫貧（無債務(wù)），
依題意有，12n×4050-572000-400000≥0，
解得n≥20，
即最早在20年后無債務(wù)．

點(diǎn)評：本題考查分段函數(shù)及運(yùn)用，考查分段函數(shù)的最值，應(yīng)考慮各段的最值，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．