【題目】已知三棱錐中，為等腰直角三角形，，設點為中點，點為中點，點為上一點，且．

（1）證明：平面；

（2）若，求直線與平面所成角的正弦值．

【答案】(1)證明見解析；(2)

【解析】

（1）連接交于點，連接，通過證，并說明平面，來證明平面

（2）采用建系法以、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，分別表示出對應的點坐標，設平面的一個法向量為，結合直線對應的和法向量，利用向量夾角的余弦公式進行求解即可

證明：如圖，

連接交于點，連接，點為的中點，點為的中點，

點為的重心，則，，，

又平面，平面，平面；

，，，，

，，可得，又，

則以、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，

則，，，，

，，．

設平面的一個法向量為，由，

取，得．設直線與平面所成角為，

則．直線與平面所成角的正弦值為．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某地區(qū)不同身高的未成年男孩的體重平均值如下表：

身高

60

70

80

90

100

體重

6.13

7.90

9.99

12.15

15.02

已知與之間存在很強的線性相關性，

（1）據(jù)此建立與之間的回歸方程；

（2）若體重超過相同身高男性體重平均值的1.2倍為偏胖，低于0.8倍為偏瘦，那么這個地區(qū)一名身高體重為的在校男生的體重是否正常？

參考數(shù)據(jù)：，，

附：對于一組數(shù)據(jù)，，…，，其回歸直線中的斜率和截距的最小二乘估計分別為，.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知，函數(shù)，且曲線在處的切線與直線垂直.

（I）求函數(shù)在區(qū)間上的極大值；

（II）求證：當時，

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓：的右焦點為，離心率為，是橢圓上位于第一象限內(nèi)的任意一點，為坐標原點，關于的對稱點為，，圓：.

（1）求橢圓和圓的標準方程；

（2）過點作與圓相切于點，使得點，點在的兩側.求四邊形面積的最大值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】下列命題中：

①若樣本數(shù)據(jù)的方差為16，則數(shù)據(jù)的方差為64；

②“平面向量夾角為銳角，則”的逆命題為真命題；

③命題“，”的否定是“，”；

④若：，，則是的充分不必要條件.

真命題的個數(shù)序號_________.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】十九大提出，堅決打贏脫貧攻堅戰(zhàn)，某幫扶單位為幫助定點扶貧村真脫貧,堅持扶貧同扶智相結合，幫助貧困村種植蜜柚，并利用電商進行銷售，為了更好地銷售，現(xiàn)從該村的蜜柚樹上隨機摘下了個蜜柚進行測重，其質(zhì)量分別在，，,,， (單位:克)中，其頻率分布直方圖如圖所示，

（Ⅰ）已經(jīng)按分層抽樣的方法從質(zhì)量落在，的蜜柚中抽取了個，現(xiàn)從這個蜜柚中隨機抽取個。求這個蜜柚質(zhì)量均小于克的概率:

（Ⅱ）以各組數(shù)據(jù)的中間值代表這組數(shù)據(jù)的平均水平，以頻率代表概率，已知該貧困村的蜜柚樹上大約還有個蜜柚等待出售，某電商提出了兩種收購方案:

方案一:所有蜜柚均以元/千克收購；

方案二:低于克的蜜柚以元/個收購，高于或等于克的以元/個收購.

請你通過計算為該村選擇收益最好的方案.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在底面為菱形的四棱錐P-ABCD中，平面平面ABCD，為等腰直角三角形，，，點E，F分別為BC，PD的中點，直線PC與平面AEF交于點Q.

（1）若平面平面，求證：.

（2）求直線AQ與平面PCD所成角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在四棱錐中，底面為平行四邊形，平面平面，是邊長為4的等邊三角形，，是的中點.

（1）求證：；

（2）若直線與平面所成角的正弦值為，求平面 與平面所成的銳二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在單位正方體中，點在線段上運動，給出以下三個命題：

①三棱錐的體積為定值； ②二面角的大小為定值；

③異面直線與直線所成的角為定值；

其中真命題有（ ）

A.0個B.1個C.2個D.3個

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