Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

3

2

，其右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為AB原點(diǎn)到直線的距離為

2 5

5

（1）求橢圓方程；
（2）直線l：y=k（x+2）交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，若點(diǎn)B始終在以PQ為直徑的圓內(nèi)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由題意列關(guān)于a，b的關(guān)系式，結(jié)合離心率、隱含條件求得a²，b²的值，則橢圓方程可求；
（2）聯(lián)立直線方程和橢圓方程，化為關(guān)于x的一元二次方程，求出P，Q的坐標(biāo)，由點(diǎn)B始終在以PQ為直徑的圓內(nèi)得到

BP

•

BQ

＜0，由此求得實(shí)數(shù)k的取值范圍．

解答： 解：（1）橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右頂點(diǎn)為（a，0），上頂點(diǎn)為（0，b），
則過右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)的直線方程為bx+ay-ab=0，
則

|-ab|

a2+b2

=

2 5

5

，又

c

a

=

3

2

，a²=b²+c²，解得：a²=4，b²=1．
∴橢圓方程為

x2

4

+y2=1；
（2）聯(lián)立

y=k(x+2) x2 4 +y2=1

，得（1+4k²）x²+16k²x+（16k²-4）=0．
記P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
則x1=-2，x2=

2-8k2

1+4k2

，y1=0，y2=

4k

1+4k2

，
由點(diǎn)B始終在以PQ為直徑的圓內(nèi)，則∠PBQ為鈍角或平角，
即

BP

•

BQ

＜0，
∵B（0，1），P（-2，0），Q（

2-8k2

1+4k2

，

4k

1+4k2

），

BP

=(-2，-1)，

BQ

=(

2-8k2

1+4k2

，

4k-1-4k2

1+4k2

)，

BP

•

BQ

=

20k2-4k-3

1+4k2

＜0，解得：-

3

10

＜k＜

1

2

．
∴實(shí)數(shù)k的取值范圍是(-

3

10

，

1

2

)．

點(diǎn)評：本題主要考查橢圓的定義，直線與橢圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力，考查了函數(shù)與方程思想，數(shù)形結(jié)合思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想，訓(xùn)練了利用平面向量數(shù)量積求解幾何問題，是中檔題．