【題目】如圖,四棱錐的底面為直角梯形,,,,,平面平面,點(diǎn)上,且


(Ⅰ)證明:平面平面;

(Ⅱ)當(dāng)異面直線所成角的余弦值為時(shí),求二面角的正弦值.

【答案】(Ⅰ)證明見解析;(Ⅱ)

【解析】

(Ⅰ)先證明,再利用面面垂直性質(zhì)得平面,可得,即可證明;

(Ⅱ)以為原點(diǎn),分別以向量,,的方向?yàn)?/span>軸、軸和軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法求二面角即可.

(Ⅰ)證明:延長,使它們交于,連結(jié),如圖,

由已知,,所以;

又因?yàn)?/span>,所以為直角三角形,且為直角,即;

不妨設(shè),則在直角梯形中,,,

所以,,從而;

又因?yàn)槠矫?/span>平面,平面平面

所以平面,從而;

因?yàn)?/span>,,,所以平面;

又因?yàn)?/span>平面,所以平面平面

(Ⅱ)過,則由平面平面及平面平面,

平面,從而,,兩兩垂直.

為原點(diǎn),分別以向量,,的方向?yàn)?/span>軸、軸和軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,如圖,

設(shè)),,結(jié)合(1),易得

,,,

從而,,

由直線所成角的余弦值為,有,

,解得,即,

從而

;

設(shè)向量為平面的一個(gè)法向量,則由

,令,得

設(shè)向量為平面的一個(gè)法向量,則由,有

,令,得;

;

從而;

所以,二面角的正弦值為

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