【題目】如圖，在三棱柱中，已知四邊形為矩形，，，，的角平分線交于.

（1）求證:平面平面；

（2）求二面角的余弦值.

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）過點作交于，連接，設(shè)，連接，由角平分線的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，三角形的全等，證得，，由線面垂直的判斷定理證得平面，再由面面垂直的判斷得證.

（2）平面幾何知識和線面的關(guān)系可證得平面，建立空間直角坐標(biāo)系，求得兩個平面的法向量，根據(jù)二面角的向量計算公式可求得其值.

（1）如圖，過點作交于，連接，設(shè)，連接，，，

又為的角平分線，四邊形為正方形，，

又，，，，，又為的中點，

又平面，，平面，

又平面，平面平面，

（2）在中，，，，在中，，，

又，，，，

又，，平面，平面，

故建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則，，，

，，，，

設(shè)平面的一個法向量為，則，，

令，得,

設(shè)平面的一個法向量為，則，

，令，得

，由圖示可知二面角是銳角，

故二面角的余弦值為.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)，已知函數(shù)，，，記函數(shù)和的零點個數(shù)分別是，，則（ ）

A.若，則B.若，則

C.若，則D.若，則

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【題目】隨著年北京冬奧會臨近，中國冰雪產(chǎn)業(yè)快速發(fā)展，冰雪運(yùn)動人數(shù)快速上升，冰雪運(yùn)動市場需求得到釋放，將引領(lǐng)戶外用品行業(yè)市場增長．下面是年至年中國雪場滑雪人次（萬人次）與同比增長率的統(tǒng)計圖，則下面結(jié)論中不正確的是（ ）

A.年至年，中國雪場滑雪人次逐年增加

B.年至年，中國雪場滑雪人次和同比增長率均逐年增加

C.年與年相比，中國雪場滑雪人次的同比增長率近似相等，所以同比增長人數(shù)也近似相等

D.年與年相比，中國雪場滑雪人次增長率約為

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知曲線的極坐標(biāo)方程為，以極點為原點，極軸所在直線為軸建立直角坐標(biāo)系，過點作傾斜角為（）的直線交曲線于、兩點.

（1）求曲線的直角坐標(biāo)方程，并寫出直線的參數(shù)方程；

（2）過點的另一條直線與垂直，且與曲線交于，兩點，求的最小值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】為迎接2022年冬奧會，北京市組織中學(xué)生開展冰雪運(yùn)動的培訓(xùn)活動，并在培訓(xùn)結(jié)束后對學(xué)生進(jìn)行了考核．記表示學(xué)生的考核成績，并規(guī)定為考核優(yōu)秀．為了了解本次培訓(xùn)活動的效果，在參加培訓(xùn)的學(xué)生中隨機(jī)抽取了30名學(xué)生的考核成績，并作成如下莖葉圖：

（Ⅰ）從參加培訓(xùn)的學(xué)生中隨機(jī)選取1人，請根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，估計這名學(xué)生考核優(yōu)秀的概率；

（Ⅱ）從圖中考核成績滿足的學(xué)生中任取2人，求至少有一人考核優(yōu)秀的概率；

（Ⅲ）記表示學(xué)生的考核成績在區(qū)間的概率，根據(jù)以往培訓(xùn)數(shù)據(jù)，規(guī)定當(dāng)時培訓(xùn)有效．請根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，判斷此次中學(xué)生冰雪培訓(xùn)活動是否有效，并說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某快餐連鎖店，每天以200元的價格從總店購進(jìn)早餐，然后以每份10元的價格出售．40份以內(nèi)，總店收成本價每份5元，當(dāng)天不能出售的早餐立即以1元的價格被總店回收，超過40份的未銷售的部分總店成本價回收，然后進(jìn)行環(huán)保處理．如果銷售超過40份，則超過40份的利潤需上繳總店．該快餐連鎖店記錄了100天早餐的銷售量（單位：份），整理得下表：

日銷售量

25

30

35

40

45

50

頻數(shù)

10

16

28

24

14

8

完成下列問題：

（1）寫出每天獲得利潤與銷售早餐份數(shù)（）的函數(shù)關(guān)系式；

（2）估計每天利潤不低于150元的概率；

（3）估計該快餐店每天的平均利潤．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖①，在平面五邊形中，是梯形，，，，，是等邊三角形.現(xiàn)將沿折起，連接、得如圖②的幾何體.

（1）若點是的中點，求證：平面；

（2）若，在棱上是否存在點，使得二面角的余弦值為？若存在，求的值；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，四棱錐的底面為直角梯形，，，，，平面平面，點在上，且．


（Ⅰ）證明：平面平面；

（Ⅱ）當(dāng)異面直線與所成角的余弦值為時，求二面角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】若函數(shù)在處取得極大值或極小值，則稱為函數(shù)的極值點.已知函數(shù).

（1）當(dāng)時，求的極值；

（2）若在區(qū)間上有且只有一個極值點，求實數(shù)的取值范圍.

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