已知橢圓C：=1（a＞b＞0）過點(diǎn)（0，1），且離心率為．
（1）求橢圓C的方程；
（2）A，B為橢圓C的左右頂點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓C上異于A，B的動(dòng)點(diǎn)，直線AP，BP分別交直線l：x=2于E，F(xiàn)兩點(diǎn)．證明：以線段EF為直徑的圓恒過x軸上的定點(diǎn)．
【答案】分析：（1）利用橢圓過點(diǎn)（0，1），且離心率為，求出幾何量，即可求橢圓C的方程；
（2）設(shè)出直線AP，BP的方程，求出E，F(xiàn)的坐標(biāo)，利用點(diǎn)M在以線段EF為直徑的圓上，=0，即可得出結(jié)論．
解答：（1）解：由題意可知，b=1，…（1分）
∵，a2=b2+c2．…（3分）
∴a=2，…（4分）
∴橢圓的方程為．…（5分）
（2）證明：由題可得A（-2，0），B（2，0）．
設(shè)P（x，y），由題意可得，直線AP的方程為，…（7分）
令，則y=，即E（，）；                    …（8分）
直線BP的方程為，…（9分）
令，則y=，即F（，）；                   …（10分）
設(shè)點(diǎn)M（m，0）在以線段EF為直徑的圓上，則=0，…（11分）
即=0，…（12分）
∵，即，
∴，
∴m=或m=．…（13分）
所以以線段EF為直徑的圓必過x軸上的定點(diǎn)（，0）或（，0）．…（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．
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已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）經(jīng)過（1，1）與（，）兩點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過原點(diǎn)的直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，橢圓C上一點(diǎn)M滿足|MA|=|MB|．求證：++為定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012年陜西省高考數(shù)學(xué)壓軸卷（解析版） 題型：選擇題

已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）的左右焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，過F2線與圓x2+y2=b2相切于點(diǎn)A，并與橢圓C交與不同的兩點(diǎn)P，Q，如圖，PF1⊥PQ，若A為線段PQ的靠近P的三等分點(diǎn)，則橢圓的離心率為（ ）
A．
B．
C．
D．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012年吉林省高考數(shù)學(xué)仿真模擬試卷9（理科）（解析版） 題型：解答題

已知橢圓C：+=1（a＞b＞0），直線l為圓O：x2+y2=b2的一條切線，記橢圓C的離心率為e．
（1）若直線l的傾斜角為，且恰好經(jīng)過橢圓的右頂點(diǎn)，求e的大小；
（2）在（1）的條件下，設(shè)橢圓的上頂點(diǎn)為A，左焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)A與AF垂直的直線交x軸的正半軸于B點(diǎn)，過A、B、F三點(diǎn)的圓恰好與直線l：x+y+3=0相切，求橢圓方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)備考綜合模擬試卷（3）（解析版） 題型：解答題

已知橢圓C：+=1（a＞b＞0），直線l為圓O：x2+y2=b2的一條切線，記橢圓C的離心率為e．
（1）若直線l的傾斜角為，且恰好經(jīng)過橢圓的右頂點(diǎn)，求e的大��；
（2）在（1）的條件下，設(shè)橢圓的上頂點(diǎn)為A，左焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)A與AF垂直的直線交x軸的正半軸于B點(diǎn)，過A、B、F三點(diǎn)的圓恰好與直線l：x+y+3=0相切，求橢圓方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011-2012學(xué)年四川省攀枝花市高三12月月考文科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

已知橢圓C：=1（a>b>0）的離心率為，且在x軸上的頂點(diǎn)分別為

（1）求橢圓方程；

（2）若直線：與軸交于點(diǎn)T，P為上異于T的任一點(diǎn)，直線分別與橢圓交于M、N兩點(diǎn)，試問直線MN是否通過橢圓的焦點(diǎn)？并證明你的結(jié)論.

 

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