Question

如圖，在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2，AA₁=4，E為BC的中點(diǎn)，F(xiàn)為CC₁的中點(diǎn)．
（1）求EF與平面ABCD所成的角的余弦值；
（2）求二面角F-DE-C的余弦值．

Answer 1

分析：（1）以D點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz，先求出平面ABCD的一個(gè)法向量為

n

，設(shè)EF與

n

的夾角為θ，求出此角的余弦值，根據(jù)EF與平面ABCD所成的角與θ互補(bǔ)求出所求即可；
（2）先求出

EF

與

DF

的坐標(biāo)，設(shè)平面DEF的一個(gè)法向量為m，則m•

DF

=0，m•

EF

=0，建立兩個(gè)等式關(guān)系，求出m，利用兩法向量的夾角公式求出cos＜m，n＞，即可得到二面角F-DE-C的余弦值．

解答：解：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz，則D（0，0，0），A（2，0，0），C（0，2，0），B（2，2，0），E（1，2，0），F(xiàn)（0，2，2）．
（1）

EF

=（-1，0，2）．
易得平面ABCD的一個(gè)法向量為n=（0，0，1），
設(shè)EF與n的夾角為θ，
則cosθ═

2

5

5

，
∴EF與平面ABCD所成的角的余弦值為

5

5

．
（2）

EF

=（-1，0，2），

DF

=（0，2，2）．
設(shè)平面DEF的一個(gè)法向量為m，則m•

DF

=0，m•

EF

=0，
可得m=（2，-1，1），∴cos＜m，n＞=

m•n

|m||n|

=

6

6

，
∴二面角F-DE-C的余弦值為

6

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與平面所成的角，以及二面角等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力，運(yùn)算能力和推理論證能力，屬于中檔題．