Question

如圖，在直四棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD為等腰梯形，AB∥CD，AB＝4，BC＝CD＝2，AA₁＝2，E、E₁分別是棱AD、AA₁的中點(diǎn)．

(1)設(shè)F是棱AB的中點(diǎn)，證明：直線EE₁∥平面FCC₁；

(2)證明：平面D₁AC⊥平面BB₁C₁C.

Answer 1

(1)解法一：取A₁B₁的中點(diǎn)F₁，連結(jié)FF₁、C₁F₁，

∵FF₁∥BB₁∥CC₁，∴F₁∈平面FCC₁，

∴平面FCC₁即為平面C₁CFF₁，

連結(jié)A₁D、F₁C，∴A₁F₁綊D₁C₁綊CD，

∴四邊形A₁DCF₁為平行四邊形，

∴A₁D∥F₁C.

又∵EE₁∥A₁D，∴EE₁∥F₁C，

∵EE₁⊄平面FCC₁，F₁C⊂平面FCC₁，

∴EE₁∥平面FCC₁.

解法二：∵F為AB的中點(diǎn)，CD＝2，AB＝4，AB∥CD，

∴CD綊AF，

∴四邊形AFCD為平行四邊形，∴AD∥FC.

又CC₁∥DD₁，FC∩CC₁＝C，FC⊂平面FCC₁，CC₁⊂平面FCC₁，∴平面ADD₁A₁∥平面FCC₁，

又EE₁⊂平面ADD₁A₁，∴EE₁∥平面FCC₁.

(2)證明：連結(jié)AC，在△FBC中，FC＝BC＝FB，

又F為AB的中點(diǎn)，∴AF＝FC＝FB，

∴∠ACB＝90°，即AC⊥BC.

又AC⊥CC₁，且CC₁∩BC＝C，

∴AC⊥平面BB₁C₁C，而AC⊂平面D₁AC；

故平面D₁AC⊥平面BB₁C₁C.