Question

已知函數(shù)f(x)=x+

1

x

(x≠0)．
（I）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（II）判斷函數(shù)f（x）在（1，+∞）上的單調(diào)性；
（III）求函數(shù)f（x）在[2，4]上的最大和最小值．

Answer 1

分析：（I）先求函數(shù)定義域，看是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，再探討f（x）與f（-x）間的關(guān)系．若相等，則為偶函數(shù)；若相反，則為奇函數(shù)．
（II）用導(dǎo)數(shù)法，先求導(dǎo)，再分析在（1，+∞）上導(dǎo)數(shù)的正負(fù)．若導(dǎo)數(shù)大于零時(shí)則為增函數(shù)；若導(dǎo)數(shù)小于零時(shí)則為減函數(shù)．
（III）由[2，4]是（1，+∞）的真子集，則用（II）的單調(diào)性來求最值．若為增函數(shù)，則2，4分別對(duì)應(yīng)最小值和最大值；若為減函數(shù)，則2，4分別對(duì)應(yīng)最大值和最小值．

解答：解：（I）函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≠0}，
對(duì)任意不等于0的實(shí)數(shù)f（-x）=-x+

1

-x

=-(x+

1

x

) =-f(x)
所以函數(shù)為奇函數(shù)
（II）f′（x）=1-

1

x2

∵x＞1
∴

1

x2

＜1
∴1-

1

x2

＞ 0
∴f′（x）＞0
∴函數(shù)f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)
（III）
由（II）知函數(shù)f（x）在[2，4]上是增函數(shù)
∴當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)函數(shù)f（x）取得最小值為f（2）=

5

2

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，要注意判斷和證明是不同的，判斷可用一些常用的結(jié)論，但證明奇偶性時(shí)只有定義法，證明單調(diào)性時(shí)要用定義法和導(dǎo)數(shù)法．同時(shí)還考查了求函數(shù)最值問題，在研究此類問題時(shí)，要注意先研究單調(diào)性．