14．過雙曲線${x^2}-\frac{y^2}{2}=1$的一個(gè)焦點(diǎn)作直線交雙曲線于A、B兩點(diǎn)，若|AB|=4，則這樣的直線有（　　）
A．4條B．3條C．2條D．1條

分析 當(dāng)直線與雙曲線左右各有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，弦長(zhǎng)|AB|最小為實(shí)軸長(zhǎng)2a=2，若|AB|=4，則這樣的直線l有且僅有兩條，當(dāng)直線l與雙曲線的一支有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，弦長(zhǎng)|AB|最小為通徑長(zhǎng)$\frac{{2b}^{2}}{a}$=4，若|AB|=4，則這樣的直線l有且僅有1條，數(shù)形結(jié)合即可．

解答 解：如圖：當(dāng)直線l與雙曲線左右各有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，弦長(zhǎng)|AB|最小為實(shí)軸長(zhǎng)2a=2，
當(dāng)直線l與雙曲線的一支有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，弦長(zhǎng)|AB|最小為通徑長(zhǎng)$\frac{{2b}^{2}}{a}$=4
根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性可知，若|AB|=4，則當(dāng)直線與雙曲線左右各有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，
這樣的直線可有兩條，當(dāng)直線與雙曲線的一支有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，這樣的直線只有1條，所以若|AB|=4，
則這樣的直線有且僅有3條，
故選：B

點(diǎn)評(píng) 本題考查了雙曲線的幾何性質(zhì)，特別是直線與雙曲線相交時(shí)弦長(zhǎng)的幾何性質(zhì)，在平時(shí)的學(xué)習(xí)中注意積累一些結(jié)論，對(duì)解決此類選擇題很有好處．

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A．3B．$\sqrt{3}$C．$\sqrt{5}$D．2

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