Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD是菱形，PB=PD，且EF分別是BC，CD的中點(diǎn)．求證：
（1）EF∥平面PBD；
（2）平面PEF⊥平面PAC．

Answer 1

考點(diǎn)：平面與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）欲證明線面平行，需轉(zhuǎn)化為線線平行．
（2）欲證明面面垂直，需轉(zhuǎn)化為線線垂直．

解答： 證明：（1）∵E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點(diǎn)，
∴EF∥BD，
∵EF不包含于平面PBD，BD?平面PBD，
∴EF∥平面PBD．
（2）設(shè)BD∩AC=O，連結(jié)PO，
∵ABCD是菱形，∴BD⊥AC，O是BD中點(diǎn)，
又PB=PD，
∴BD⊥PO，
又EF∥BD，
∴EF⊥AC，EF⊥PO．
又AC∩PO=O，AC?平面PC，PO?平面PAC，
∴EF⊥平面PAC．
∵EF?平面PEF，
∴平面PEF⊥平面PAC．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線平面平行的證明，考查面面垂直的證明，是中檔題，解題時(shí)要注意空間思維能力的培養(yǎng)．