Question

已知二次函數(shù)同時滿足：①不等式≤0的解集有且只有一個元素；②在定義域內(nèi)存在，使得不等式成立，設(shè)數(shù)列｛｝的前項和．

（1）求函數(shù)的表達式；

(2) 設(shè)各項均不為0的數(shù)列｛｝中，所有滿足的整數(shù)的個數(shù)稱為這個數(shù)列｛｝的變號數(shù)，令（）,求數(shù)列｛｝的變號數(shù)；　

（3）設(shè)數(shù)列｛｝滿足：，試探究數(shù)列｛｝是否存在最小項？若存在，求出該項，若不存在，說明理由．

Answer 1

（1）    (2) ３

解析:

（１）∵不等式≤0的解集有且只有一個元素

∴　解得或----------2分

當時函數(shù)在遞增，不滿足條件②

當時函數(shù)在（０，２）上遞減，滿足條件②

綜上得，即----------4分

（２）由（１）知

當時，，當≥２時＝＝

∴-------6分由題設(shè)可得----7分

∵，，∴，都滿足

∵當≥３時，

即當≥３時，數(shù)列｛｝遞增，∵，由，可知滿足∴數(shù)列｛｝的變號數(shù)為３。-----9分

（３）∵＝,　由（２）可得：

--------------11分

＝＝-------13分

∵當時數(shù)列｛｝遞增，∴當時，最小, 又∵，

∴數(shù)列｛｝存在最小項------14分

〔或∵＝,由（２）可得：

-----11分

＝

對于函數(shù)　∵

∴函數(shù)在上為增函數(shù)，∴當時數(shù)列｛｝遞增，

∴當時，最小，---13分

又∵，　∴數(shù)列｛｝存在最小項---------14分〕