Question

f（x）=

|lg|x-1||，x≠1 0，x=1

，
（1）試根據c不同取值，討論f²（x）+f（x）+c=0的實數解的個數；
（2）試根據b不同取值，討論f²（x）+bf（x）+1=0的實數解的個數．

Answer 1

考點：根的存在性及根的個數判斷

專題：函數的性質及應用

分析：（1）（2）通過f（x）的解的個數，判別式△判斷方程的解的情況．

解答： 解：（1）先根據題意作出f（x）的簡圖：
∴f（x）=0有3個解，x=0，x=1，x=2，
由題意，對于f²（x）+f（x）+c=0來說，
△=1-4c＞0，即c＜

1

4

時，有5個解，
△=1-4c=0，即c=

1

4

時，有3個解，
△=1-4c＜0，即c＞

1

4

時，無解；
（2）由（1）得：f（x）=0有3個解，x=0，x=1，x=2，
由題意，對于f²（x）+bf（x）+1=0來說，
△=b²-4＞0，即b＞2或b＜-2時，有5個解，
△=b²-4=0，即b=2或b=-2時，有3個解，
△=b²-4＜0，即-2b＜2時，無解，

點評：數形結合是數學解題中常用的思想方法，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數學問題的本質；另外，由于使用了數形結合的方法，很多問題便迎刃而解，且解法簡捷．