Question

如圖所示，直角坐標系xOy建立在湖泊的某一恰當位置，現準備在湖泊的一側修建一條觀光大道，它的前一段MD是以O為圓心，OD為半徑的圓弧，后一段DBC是函數y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

），x∈[4，8]時的圖象，圖象的最高點為B(5，

8

3

)
（Ⅰ）求函數y=sin（ωx+φ）的解析式；
（Ⅱ）若在湖泊內修建如圖所示的矩形水上樂園OEPF，其中折線FPE為水上賽艇線路，問點P落在圓弧MD上何處時賽艇線路最長？

Answer 1

分析：（I）函數y=f（x）的相鄰兩條對稱軸間距離，求出函數周期，得到ω，函數的圖象的一個對稱中心，求出φ，然后求出函數y=f（x）的解析式；
（II）在y=

8

3

sin(

π

6

x-

π

3

) 中令x=4，得OD，再連接OP，設賽艇線路長為L．利用三角函數表示出來L，再利用三角函數的性質求得L 有最大值即可解決問題．

解答：解：（I）對于函數y=Asin（ωx+φ），
由圖象知，A=

8

3

，ω=

2π

T

=

2

4(8-5)

=

π

6

 …（3分）
將B(5，

8

3

) 代入到y=

8

3

sin(

π

6

x+φ) 中，得

5π

6

x+φ=2kπ+

π

2

，(k∈Z)，又|φ|＜

π

2

，
所以φ=-

π

3

，故y=

8

3

sin(

π

6

x-

π

3

) …（7分）
（II）在y=

8

3

sin(

π

6

x-

π

3

) 中令x=4，得D(4，

4 3

3

) 
∴OD=

8 3

3

 …（9分）
連接OP，設∠EOP=θ，θ∈[

π

6

，

π

2

)，則P(

8 3

3

cosθ，

8 3

3

sinθ) 
設賽艇線路長為L．
則L=PE+PF=

8 3

3

cosθ+

8 3

3

sinθ=

8 6

3

sin(θ+

π

4

) …（12分）
當θ=

π

4

 時L 有最大值

8 6

3

，此時P(

4 6

3

，

4 6

3

)．…（14分）
所以當P 點的坐標為(

4 6

3

，

4 6

3

) 時賽艇線路最長．′…（15分）

點評：題是基礎題，考查三角函數的解析式的求法，注意周期的應用，兩角和的余弦公式的應用，同時注意角的范圍，以及角的變換的技巧，是解題的關鍵，考查計算能力．