Question

7．已知數(shù)列{a_n}中，a₁=2，a₂=3，其前n項(xiàng)和S_n滿足a_n+1+S_n-1=S_n+1（n≥2，n∈N^*）．
（1）求證：數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，并求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)T_n為數(shù)列$\{\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}\}$的前n項(xiàng)和，求T_n．

Answer 1

分析 （1）由已知等式變形得到${a_{n+1}}-{a_n}=1（n≥2，n∈{N^*}）$，根據(jù)等差數(shù)列的定義得到證明并且求通項(xiàng)公式；
（2）由（1）得到數(shù)列$\{\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}\}$的通項(xiàng)公式，利用裂項(xiàng)求和即可得到T_n．

解答 解：（1）證明：由已知，${a_{n+1}}-{a_n}=1（n≥2，n∈{N^*}）$，且a₂-a₁=1，
∴數(shù)列{a_n}是以a₁=2為首項(xiàng)，公差為1的等差數(shù)列，∴a_n=n+1．…（6分）
（2）$\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}=\frac{1}{（n+1）（n+2）}=\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$.${T_n}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+…+\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}=\frac{1}{2}-\frac{1}{n+2}=\frac{n}{2（n+2）}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的證明、通項(xiàng)公式的求法以及裂項(xiàng)求和；屬于中檔題．