8.函數(shù)f(x)=a|log2x|+1(a≠0),定義函數(shù)F(x)=$\left\{\begin{array}{l}{f(x),x>0}\\{f(-x),x<0}\end{array}\right.$,給出下列命題:
①F(x)=|f(x);   
②函數(shù)F(x)是偶函數(shù);
③當(dāng)a<0時(shí),若0<m<n<1,則有F(m)-F(n)<0成立;
④當(dāng)a>0時(shí),函數(shù)y=F(x)-2有4個(gè)零點(diǎn).
其中正確命題的序號(hào)為②③④.

分析 (1)|f(x)|=|a|log2x|+1|,∴F(x)≠|(zhì)f(x)|;①不對(duì):(2)F(-x)=F(x),函數(shù)F(x)是偶函數(shù);故②正確
(3)|log2m|>|log2n|,a|log2m|+1>a|log2n|+1,即F(m)<F(n)成立;故F(m)-F(n)<0成立;所以③正確
(4)x>0時(shí),F(xiàn)(x)的最小值為F(1)=1,運(yùn)用圖象判斷即可.

解答 解:解:(1)∵函數(shù)f(x)=a|log2x|+1(a≠0),定義函數(shù)F(x)=$\left\{\begin{array}{l}{f(x),x>0}\\{f(-x),x<0}\end{array}\right.$,
對(duì)于①,∴|f(x)|=|a|log2x|+1|,∴F(x)≠|(zhì)f(x)|;故①不錯(cuò);
對(duì)于②,F(xiàn)(x)=$\left\{\begin{array}{l}{f(x),x>0}\\{f(-x),x<0}\end{array}\right.$═F(x)∴函數(shù)F(x)是偶函數(shù);故②正確,
對(duì)于③,∵當(dāng)a<0時(shí),若0<m<n<1,∴|log2m|>|log2n|
∴a|log2m|+1>a|log2n|+1,即F(m)<F(n)成立;故F(m)-F(n)<0成立;所以③正確;
對(duì)于④,∴x>0時(shí),F(xiàn)(x)在(0,1)單調(diào)遞減,(1,+∞)單調(diào)遞增,∴x>0時(shí),F(xiàn)(x)的最小值為F(1)=1,
故x>0時(shí),F(xiàn)(x)與y=-2有2個(gè)交點(diǎn),∵函數(shù)F(x)是偶函數(shù),∴x<0時(shí),F(xiàn)(x)與y=-2有2個(gè)交點(diǎn)
故當(dāng)a>0時(shí),函數(shù)y=F(x)-2有4個(gè)零點(diǎn).所以④正確,
故答案為:②③④

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考察了函數(shù)的性質(zhì),運(yùn)用圖象解決問(wèn)題,對(duì)于函數(shù)式子與性質(zhì)的結(jié)合,關(guān)鍵是理解,屬于難題.

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