分析 (1)由已知得函數(shù)f(x)=x2(x≠0,a∈R),根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義,可判斷出f(x)=x2為偶函數(shù);
(2)根據(jù)f(x)在區(qū)間[2,+∞)是增函數(shù),結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的定義,可得當(dāng)x2>x1≥2,f(x1)-f(x2)<0,由此構(gòu)造關(guān)于a的不等式,解不等式可得實(shí)數(shù)a的取值范圍.
解答 解:(1)a=0時(shí),f(x)=x2,顯然f(-x)=f(x),定義域是(-∞,0)∪(0,+∞),關(guān)于原點(diǎn)對稱,
故f(x)是偶函數(shù);
(2)設(shè)x2>x1≥2,f(x1)-f(x2)=${{x}_{1}}^{2}$+$\frac{a}{{x}_{1}}$-${{x}_{2}}^{2}$-$\frac{a}{{x}_{2}}$=$\frac{{{x}_{1}-x}_{2}}{{{x}_{1}x}_{2}}$[x1x2(x1+x2)-a],
由x2>x1≥2得x1x2(x1+x2)>16,x1-x2<0,x1x2>0
要使f(x)在區(qū)間[2,+∞)是增函數(shù)只需f(x1)-f(x2)<0,
即x1x2(x1+x2)-a>0恒成立,則a≤16.
另解(導(dǎo)數(shù)法):f′(x)=2x-$\frac{a}{{x}^{2}}$,
要使f(x)在區(qū)間[2,+∞)是增函數(shù),
只需當(dāng)x≥2時(shí),f'(x)≥0恒成立,即2x-$\frac{a}{{x}^{2}}$≥0,
則a≤2x3∈[16,+∞)恒成立,
故當(dāng)a≤16時(shí),f(x)在區(qū)間[2,+∞)是增函數(shù).
點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是函數(shù)奇偶性的性質(zhì),函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì),熟練掌握函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的定義,將已知轉(zhuǎn)化為關(guān)于參數(shù)a的方程(不等式)是解答本題的關(guān)鍵.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | B. | $\frac{\sqrt{3}}{3}$ | C. | 1 | D. | $\sqrt{3}$ |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 4 | B. | 3 | C. | 2 | D. | 1 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | $\frac{1}{6}$ | B. | $\frac{5}{6}$ | C. | $\frac{1}{3}$ | D. | $\frac{1}{2}$ |
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