Question

已知定義在R上的函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，且在[0，+∞）遞增，對任意的實數(shù)θ∈R，是否存在這樣的實數(shù)m，使得f（cos2θ-3）+f（4m-2mcosθ）＞f（0）對所有的θ都成立？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：∵f（x）為奇函數(shù)，且在[0，+∞）上是增函數(shù)，則f（x）在R上為增函數(shù)，且f（0）=0，
所以原不等式可化為f（cos2θ-3）＞f（2mcosθ-4m），∴cos2θ-3＞2mcosθ-4m，即∴cos²θ-mcosθ+2m-2＞0．
令t=cosθ，則原不等式可轉化為：
當t∈[-1，1]時，是否存在m∈R，使得g（t）=t²-mt+2m-2＞0恒成立．
由t²-mt+2m-2＞0，t∈[-1，1]，得，t∈[-1，1]時，
令，即當且僅當時，，
故．
即存在這樣的m，且．
分析：根據f（x）為奇函數(shù)，可得到函數(shù)f（x）在R上的單調性，且f（0）=0，原不等式可化為f（cos2θ-3）＞f（2mcosθ-4m），即cos2θ-3＞2mcosθ-4m，令t=cosθ，原不等式可轉化為t∈[-1，1]時，是否存在m∈R，使得g（t）=t²-mt+2m-2＞0恒成立，將m分離出來利用基本不等式即可求出m的取值范圍．
點評：本題主要考查了函數(shù)的奇偶性和單調性，以及利用基本不等式求最值，同時考查了轉化的思想，屬于中檔題．