Question

【題目】如圖，橢圓：（）的離心率，左、右焦點分別為，，過，分別作兩條相互垂直的直線，，分別交橢圓于，，，四點，，的交點為，三角形面積的最大值為1.

（1）求橢圓的方程；

（2）當四邊形的面積最小時，求點的坐標.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或.

【解析】

（1）由已知可得，根據(jù)面積公式及基本不等式可得，計算求得，進而可得即可得出結(jié)果；

（2）設(shè)直線：，則直線：，分別與橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)弦長公式及韋達定理化簡可得，令，化簡可得，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可知，進而得出，通過直線方程聯(lián)立可求得交點坐標.

（1）∵，∴，

設(shè)，，則，

，

當且僅當時取得最大值，∴，，

∵橢圓的離心率，∴，

又由，∴橢圓的方程為.

（2）設(shè)直線：，由，

設(shè)，，則，，

，

若，，這時，，

若，則直線：，

由，

同理得，

∴.

設(shè)，則（），

，

當時，，∴，

這時，，

當時，：，：，

由

當時，：，：，

由

故當最小時，點的坐標為或.