Question

9．已知雙曲線$\frac{x^2}{24}-\frac{y^2}{16}$=1，P為雙曲線上一點，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是雙曲線的兩個焦點，且∠F₁PF₂=60°，求△F₁PF₂的面積．

Answer 1

分析 由題意可得F₂（2$\sqrt{10}$，0），F(xiàn)₁ （-2$\sqrt{10}$，0），由余弦定理可得 PF₁•PF₂=64，由△F₁PF₂的面積S=$\frac{1}{2}$PF₁•PF₂sin60°，計算即可得到所求．

解答 解：由雙曲線$\frac{x^2}{24}-\frac{y^2}{16}$=1的a=$\sqrt{24}$，b=4，c=2$\sqrt{10}$，
F₂（2$\sqrt{10}$，0），F(xiàn)₁ （-2$\sqrt{10}$，0），
由余弦定理可得，
F₁F₂²=160=PF₁²+PF₂²-2PF₁•PF₂cos60°
=（PF₁-PF₂）²+PF₁•PF₂=96+PF₁•PF₂，
∴PF₁•PF₂=64．
則△F₁PF₂的面積S=$\frac{1}{2}$PF₁•PF₂sin60°=$\frac{1}{2}$×64×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=16$\sqrt{3}$．
故答案為：16$\sqrt{3}$．

點評 本題考查雙曲線的定義和標準方程，余弦定理，以及雙曲線的簡單性質的應用，求出PF₁•PF₂的值，是解題的關鍵．