Question

1．（1）現(xiàn)有5名男生和3名女生．若從中選5人，且要求女生只有2名，站成一排，共有多少種不同的排法？
（2）從{-3，-2，-1，0，1，2，3，4}中任選三個不同元素作為二次函數(shù)y=ax²+bx+c的系數(shù)，問能組成多少條經(jīng)過原點且頂點在第一象限或第三象限的拋物線？
（3）已知（$\frac{1}{2}$+2x）ⁿ，若展開式中第5項、第6項與第7項的二項式系數(shù)成等差數(shù)列，求展開式中二項式系數(shù)最大項的系數(shù)．

Answer 1

分析 （1）分三步完成：先從3名女生中選出2名，有$C_3^2$種方法，再從5名男生中選出3名，有$C_5^3$種方法，將選擇出的5人全排列，有$A_5^5$，根據(jù)分步計數(shù)原理即可得出．
（2）由拋物線過原點，可得c=0，c只有1種取法．對頂點分類討論：當頂點在第一象限時，必開口向下，且對稱軸在y軸右邊，可得a＜0，b＞0．當頂點在第三象限時，必開口向上，且對稱軸在y軸左邊，可得a＞0，b＞0，進而得出．
（3）（$\frac{1}{2}$+2x）ⁿ的若展開式通項${T_{r+1}}=C_n^r{（\frac{1}{2}）^{n-r}}{（2x）^r}=C_n^r•{2^{2r-n}}•{x^r}$，由第5項、第6項與第7項的二項式系數(shù)成等差數(shù)列，可得$C_n^4+C_n^6=2C_n^5$，解得n，再利用二項式定理展開式的通項公式即可得出．

解答 解：（1）分三步完成：先從3名女生中選出2名，有$C_3^2$種方法，再從5名男生中選出3名，有$C_5^3$種方法，將選擇出的5人全排列，有$A_5^5$，
根據(jù)分步計數(shù)原理，共有$C_3^2$$C_5^3$$A_5^5$=3600種；
（2）∵拋物線過原點，∴c=0，c只有1種取法；
當頂點在第一象限時，必開口向下，且對稱軸在y軸右邊，∴a＜0，b＞0，
∴a可取-1，-2，-3，有3種方法；b可取1，2，3，4，有4種方法，
共得到3×4=12條拋物線．
當頂點在第三象限時，必開口向上，且對稱軸在y軸左邊，∴a＞0，b＞0，
即a，b只能在1，2，3，4中取，由于a，b不相同，所以有$A_4^2$種取法，
得到$A_4^2$條拋物線…（8分） 所以共有不同的拋物線條數(shù)為$A_4^2$+12=24條．…（9分）
（3）（$\frac{1}{2}$+2x）ⁿ的若展開式通項${T_{r+1}}=C_n^r{（\frac{1}{2}）^{n-r}}{（2x）^r}=C_n^r•{2^{2r-n}}•{x^r}$
∵第5項、第6項與第7項的二項式系數(shù)成等差數(shù)列，
∴$C_n^4+C_n^6=2C_n^5$，解得n=7或n=14，
∴當n=7時，二項式系數(shù)最大的項是T₄和T₅，
其中T₄=$C_7^3•{2^{6-7}}{x^3}=\frac{35}{2}{x^3}$，T₅=$C_7^4•{2^{8-7}}x=70x$，系數(shù)分別為$\frac{35}{2}$，70．
∴當n=14時，二項式系數(shù)最大的項是T₈=$C_{14}^7•{2^{14-14}}{x^7}=C_{14}^7{x^7}$，系數(shù)為$C_{14}^7$=3432．

點評 本題考查了二項式定理與組合數(shù)的性質(zhì)、分步計數(shù)原理、拋物線的性質(zhì)、等差數(shù)列的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．