Question

9．某城市為配合國家“一帶一路”戰(zhàn)略，發(fā)展城市旅游經(jīng)濟(jì)，擬在景觀河道的兩側(cè)，沿河岸直線l₁與l₂修建景觀（橋），如圖所示，河道為東西方向，現(xiàn)要在矩形區(qū)域ABCD內(nèi)沿直線將l₁與l₂接通．
已知AB=60m，BC=80m，河道兩側(cè)的景觀道路修復(fù)費(fèi)用為每米1萬元，架設(shè)在河道上方的景觀橋EF部分的修建費(fèi)用為每米2萬元．

（1）若景觀橋長120m時(shí)，求橋與河道所成角的大小；
（2）如何設(shè)計(jì)景觀橋EF的位置，使矩形區(qū)域ABCD內(nèi)的總修建費(fèi)用最低？最低總造價(jià)是多少？

Answer 1

分析 （1）過E作BC的垂線，利用三角函數(shù)的定義計(jì)算夾角；
（2）用河道與橋梁的夾角α表示出公路兩側(cè)的長度及公路間的長度，得到建造費(fèi)用關(guān)于α的函數(shù)關(guān)系式，使用換元法判斷函數(shù)的單調(diào)性得出最小值．

解答 解：（1）過E作FM⊥BC，則EM=AB=60，EF=120，
∴sin∠EFM=$\frac{EM}{EF}=\frac{1}{2}$，
∴∠EFM=$\frac{π}{6}$，即橋與河道所成角為$\frac{π}{6}$．
（2）設(shè)橋與河道的夾角為α（tanα≥$\frac{3}{4}$），
則MF=$\frac{60}{tanα}$，EF=$\sqrt{3600+\frac{3600}{ta{n}^{2}α}}$=60$\sqrt{1+\frac{1}{ta{n}^{2}α}}$，
∴AE+FC=80-MF=80-$\frac{60}{tanα}$，
設(shè)總修建費(fèi)用為y萬元，則y=80-$\frac{60}{tanα}$+120$\sqrt{1+\frac{1}{ta{n}^{2}α}}$，
令$\frac{1}{tanα}$=x，（0＜x≤$\frac{4}{3}$）則y=80-60x+120$\sqrt{1+{x}^{2}}$，
y′=-60+$\frac{120x}{\sqrt{1+{x}^{2}}}$，令y′=0得x=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
當(dāng)0＜x$＜\frac{\sqrt{3}}{3}$時(shí)，y′＜0，當(dāng)$\frac{\sqrt{3}}{3}＜x＜\frac{4}{3}$時(shí)，y′＞0，
∴當(dāng)x=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，y取得最小值80+60$\sqrt{3}$．
當(dāng)x=$\frac{\sqrt{3}}{3}$時(shí)，tanα=$\sqrt{3}$，α=60°．
當(dāng)橋與河道時(shí)夾角為60°時(shí)，建造費(fèi)用最小，最小費(fèi)用為80+60$\sqrt{3}$萬元．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)模型的選擇及應(yīng)用，考查了利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上的最值，把費(fèi)用正確表示為角α的函數(shù)關(guān)系是解答該題的關(guān)鍵，是中檔題．