Question

7．直線mx+2ny+8=0平分圓C；x²+y²-4x+2y+3=0的周長(zhǎng)，則由點(diǎn)（m，n）向圓所作的切線長(zhǎng)的最小值是（　�。�

• A． $\frac{7\sqrt{2}}{2}$
• B． 7$\sqrt{2}$
• C． $\frac{3\sqrt{10}}{2}$
• D． 3$\sqrt{10}$

Answer 1

分析 圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，圓心坐標(biāo)代入直線mx+2ny+8=0，可得點(diǎn)（m，n）在直線l：x-y+4=0，過(guò)C（2，-1），作l的垂線，垂足設(shè)為D，則過(guò)D作圓C的切線，切點(diǎn)設(shè)為E，則切線長(zhǎng)DE最短，從而可得結(jié)論．

解答 解：圓C：x²+y²-4x+2y+3=0可化為（x-2）²+（y+1）²=2，圓心坐標(biāo)為C（2，-1），
代入直線mx+2ny+8=0得：2m-2n+8=0，即點(diǎn)（m，n）在直線l：x-y+4=0，
過(guò)C（2，-1），作l的垂線，垂足設(shè)為D，則過(guò)D作圓C的切線，切點(diǎn)設(shè)為E，則切線長(zhǎng)DE最短，
于是有CE=$\sqrt{2}$，CD=$\frac{|2+1+4|}{\sqrt{2}}$=$\frac{7}{\sqrt{2}}$，
∴由勾股定理得：DE=$\sqrt{\frac{49}{2}-2}$=$\frac{3}{2}$$\sqrt{10}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查圓的切線長(zhǎng)的計(jì)算，確定切線長(zhǎng)DE最短是關(guān)鍵．