Question

已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)=

-2x+n

2x+1+m

是奇函數(shù)．
（1）求m、n的值并指出函數(shù)y=f（x）在其定義域上的單調(diào)性（不要求證明）；
（2）解不等式f（x+2）+f（2x-1）＜0．

Answer 1

分析：（1）由f（0）=0可得n的值，利用f（1）=-f（-1），可得m的值，從而可得函數(shù)的解析式，進(jìn)而可得函數(shù)的單調(diào)性；
（2）利用函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性，將不等式轉(zhuǎn)化為具體不等式，從而可得不等式的解集．

解答：解：（1）f（0）=0得f(0)=

-20+n

21+m

，所以n=1，所以f(x)=

-2x+1

2x+1+m

，
由f（1）=-f（-1）得

-21+n

22+m

=-

-2-1+n

20+m

，∴m=2------------------（4分）
由（1）知f(x)=

-2x+1

2x+1+2

=-

1

2

+

1

2x+1

由上式知f（x）在（-∞，+∞）上為減函數(shù)---------------------------------（6分）
（2）又因f（x）是奇函數(shù)，從而不等式f（x+2）+f（2x-1）＜0等價于f（x+2）＜-f（2x-1）=f（1-2x），
因?yàn)閒（x）是減函數(shù)，所以x+2＞1-2x，即x＞-

1

3

，
所以原不等式的解集是{x|x＞-

1

3

}．----（12分）

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性，考查解不等式，確定函數(shù)的解析式與單調(diào)性是解題的關(guān)鍵．