已知A（x1，y1），B（1，y），C（x2，y2）是橢圓上的三點(diǎn)，F(xiàn)為橢圓的左焦點(diǎn)，且|AF|，|BF|，|CF|成等差數(shù)列，則AC的垂直平分線是否過定點(diǎn)？請證明你的結(jié)論．
【答案】分析：線段AC的垂直平分線過定點(diǎn)．利用焦半徑公式及|AF|，|BF|，|CF|成等差數(shù)列，可得ex1+a+ex2+a=2（e×1+a），化為x1+x2=2．設(shè)線段AC的中點(diǎn)坐標(biāo)為（1，m），①若直線AC的斜率不存在，則不符合題意．②當(dāng)直線AC的斜率存在為k時(shí)，利用“點(diǎn)差法”可得，即．可知k≠0．利用點(diǎn)斜式可得線段AC的垂直平分線方程為，化為，即，把代入即可證明．
解答：解：線段AC的垂直平分線過定點(diǎn)．
下面給出證明：
∵|AF|，|BF|，|CF|成等差數(shù)列，
∴ex1+a+ex2+a=2（e×1+a），化為x1+x2=2．
設(shè)線段AC的中點(diǎn)坐標(biāo)為（1，m），若直線AC的斜率不存在，則不符合題意．
當(dāng)直線AC的斜率存在為k時(shí)，由，，相減可得，
∴，∴．可知k≠0．
∵線段AC的垂直平分線方程為，化為，即，
∴，即，當(dāng)時(shí)，y=0，
因此線段AC的垂直平分線過定點(diǎn)．
點(diǎn)評：熟練掌握橢圓的焦半徑公式、等差數(shù)列的定義、分類討論的思想方法、線段的垂直平分線方程、過定點(diǎn)問題等是解題的關(guān)鍵．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=lnx-
12
ax2+bx（a＞0）且f′（1）=0，
（1）試用含a的式子表示b，并求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）已知A（x1，y1），B（x2，y2）（0＜x1＜x2）為函數(shù)f（x）圖象上不同兩點(diǎn)，G（x0，y0）為AB的中點(diǎn)，記AB兩點(diǎn)連線斜率為K，證明：f′（x0）≠K．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知A（x1，y1）、B（x2，y2）是拋物線y=2x2上兩個(gè)不同點(diǎn)，若x1x2=-
12
，且A、B兩點(diǎn)關(guān)于直線y=x+m對稱，試求m的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知A（x1，y1），B（x2，y2）是函數(shù)f(x)=
2x
1-2x
，x≠
1
2
-1，x=
1
2
的圖象上的任意兩點(diǎn)，點(diǎn)M在直線x=
1
2
上，且
AM
=
MB
．
（1）求x1+x2的值及y1+y2的值；
（2）已知S1=0，當(dāng)n≥2時(shí)，Sn=f(
1
n
)+f(
2
n
)+f(
3
n
)+…+f(
n-1
n
)，設(shè)an=2Sn，Tn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若存在正整數(shù)c，m，使得不等式
Tm-c
Tm+1-c
＜
1
2
成立，求c和m的值．
（3）在（2）的條件下，設(shè)bn=31-Sn，求所有可能的乘積bi•bj（1≤i≤j≤n）的和．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)y=loga(ax-1)（a＞0，且a≠1）
（1）求此函數(shù)的定義域；
（2）已知A（x1，y1），B（x2，y2）為函數(shù)y=loga(ax-1)圖象上任意不同的兩點(diǎn)，若a＞1，求證：直線AB的斜率大于0．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•樂山一模）已知A（x1，y1），B（x2，y2）是函數(shù)f（x）=
2x
1-2x
，x≠
1
2
-1，x=
1
2
的圖象上的兩點(diǎn)（可以重合），點(diǎn)M在直線x=
1
2
上，且
AM
=
MB
．則y1+y2的值為
-2
-2
．

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