Question

20．設(shè)m∈R．在平面直角坐標(biāo)系中，已知向量$\overrightarrow{a}$=（mx，y+1），向量$\overrightarrow$=（x，y-1），$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$，動(dòng)點(diǎn)M（x，y）的軌跡為E，O是坐標(biāo)原點(diǎn)
（1）求軌跡E的方程，并說明該方程所表示曲線的形狀
（2）已知m=$\frac{1}{4}$，直線l與該曲線交于A、B兩點(diǎn)，若OA⊥OB，求證：$\frac{1}{|OA{|}^{2}}$+$\frac{1}{|OB{|}^{2}}$是一個(gè)定值．

Answer 1

分析 （1）由$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$，可得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=0，代入坐標(biāo)化簡整理即得軌跡E的方程mx²+y²=1．此為二元二次曲線，可分m=0、m=1、m＞0且m≠1和m＜0四種情況討論；
（2）當(dāng)m=$\frac{1}{4}$時(shí)，軌跡E的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1，表示橢圓，設(shè)圓的方程為x²+y²=r²（0＜r＜1），當(dāng)切線斜率存在時(shí)，可設(shè)圓的任一切線方程為y=kx+t，由直線和圓相切可得k和t的關(guān)系，由OA⊥OB，所以x₁x₂+y₁y₁=0，只需聯(lián)立直線和圓的方程，消元，維達(dá)定理，又可以得到k和t的關(guān)系，這樣就可解出r．當(dāng)切線斜率不存在時(shí)，代入檢驗(yàn)即可．再利用射影定理即可證明結(jié)論．

解答 解：（1）因?yàn)?\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$，
所以$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=0，即（mx，y+1）•（x，y-1）=0，
故mx²+y²-1=0，即mx²+y²=1．
當(dāng)m=0時(shí)，該方程表示兩條直線；
當(dāng)m=1時(shí)，該方程表示圓；
當(dāng)m＞0且m≠1時(shí)，該方程表示橢圓；
當(dāng)m＜0時(shí)，該方程表示雙曲線．
（Ⅱ）當(dāng)m=$\frac{1}{4}$時(shí)，軌跡E的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1，
設(shè)圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與軌跡E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，圓的方程為x²+y²=r²（0＜r＜1），
當(dāng)切線斜率存在時(shí)，可設(shè)圓的任一切線方程為y=kx+t，
A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
所以$\frac{|t|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=r，
即t²=r²（1+k²）．①
因?yàn)镺A⊥OB，所以x₁x₂+y₁y₁=0，
即x₁x₂+（kx₁+t）（kx₂+t）=0，
整理得（1+k²）x₁x₂+kt（x₁+x₂）+t²=0．②
由方程組$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\\{y=+tkx}\end{array}\right.$
消去y得（1+4k²）x²+8ktx+4t²-4=0．③
由韋達(dá)定理x₁+x₂=-$\frac{8kt}{1+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{t}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$
代入②式并整理得
（1+k²）$\frac{4{t}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$-kt•$\frac{8kt}{1+4{k}^{2}}$+t²=0，
即5t²=4+4k²．
結(jié)合①式有5r²=4，r=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$∈（0，1），
當(dāng)切線斜率不存在時(shí)，x²+y²=$\frac{4}{5}$也滿足題意，
故所求圓的方程為x²+y²=$\frac{4}{5}$．
所以$\frac{1}{|OA{|}^{2}}$+$\frac{1}{|OB{|}^{2}}$=$\frac{1}{AC•AB}$+$\frac{1}{BC•AB}$=$\frac{1}{AC•BC}$=$\frac{5}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查求軌跡方程、及方程所表示的曲線、直線與圓、直線與橢圓的位置關(guān)系等知識(shí)，考查計(jì)算能力和分析問題解決問題的能力，綜合性強(qiáng)，難度較大．