Question

如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，過對角線BD₁的平面分別交AA₁，CC₁于點E，F(xiàn)．
（1）證明：截面BED₁F把正方體分成體積相等的兩部分；
（2）若截面BED₁F與底面ABCD所成二面角的余弦值為

6

3

，求直線BD與平面BED₁F所成角的正弦值．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）由正方體的結(jié)構(gòu)特征，結(jié)合已知中過BD₁的平面分別交棱AA₁和棱CC₁于E、F兩點，根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理，可得D₁E∥BF，BE∥D₁F，即四邊形EBFD₁為平行四邊形，進(jìn)而由HL可證得Rt△A₁D₁E≌Rt△CB，由全等三角形的性質(zhì)可得A₁E=CF，AE=CF，由此能證明截面BED₁F把正方體分成體積相等的兩部分．
（2）以DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出直線BD與平面BED₁F所成角的正弦值．

解答： （1）證明：由題知，平面EBFD₁與平面BCC₁B₁交于BF、與平面ADD₁A交于ED₁，
又平面BCC₁B₁∥平面ADD₁A₁
∴D₁E∥BF，同理BE∥D₁F，
∴四邊形EBFD₁為平行四邊形
∴D₁E=BF，
∵A₁D₁=CB，D₁E=BF，
∠D₁A₁E=∠BCF=90°
∴Rt△A₁D₁E≌Rt△CBF
∴A₁E=CF，AE=CF，
∴截面BED₁F把正方體分成體積相等的兩部分．
（2）解：以DA為x軸，DC為y軸，
DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)AE=t，則CF=1-t（0≤t≤1），
B（1，1，0），D₁（0，0，1），E（1，0，t），

BD1

=（-1，-1，1），

BE

=（0，-1，t），
設(shè)平面BED₁F的法向量

n

=（x，y，z），
則

n • BD1 =-x-y+z=0 n • BE =-y+tz=0

，取y=1，得

n

=（

1

t

-1，1，

1

t

），
平面ABCD的法向量

m

=（0，0，1），
∵截面BED₁F與底面ABCD所成二面角的余弦值為

6

3

，
∴|cos＜

m

，

n

＞|=|

1 t

( 1 t -1)2+1+ 1 t2

|=

6

3

，
解得t=

1

2

，平面BED₁F的法向量

n

=（1，1，2），

BD

=（-1，-1，0），
設(shè)直線BD與平面BED₁F所成角為θ，
sinθ=|cos＜

n

，

BD

＞|=|

-1-1

6 × 2

|=

3

3

，
∴直線BD與平面BED₁F所成角的正弦值為

3

3

．

點評：本題考查截面BED₁F把正方體分成體積相等的兩部分的證明，考查直線BD與平面BED₁F所成角的正弦值的求法，解題時要注意向量法的合理運用．