Question

在數(shù)列{a_n}中，已知a₂=1，前n項(xiàng)和為S_n，且Sn=

n(an-a1)

2

．（其中n∈N*）
（1）求a₁；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）設(shè)lgbn=

an+1

3n

，問(wèn)是否存在正整數(shù)p、q（其中1＜p＜q），使得b₁，b_p，b_q成等比數(shù)列？若存在，求出所有滿足條件的數(shù)組（p，q）；否則，說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式,數(shù)列的求和

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）直接利用n=1求出數(shù)列的首項(xiàng)．
（2）利用遞推關(guān)系式和疊乘法求數(shù)列的通項(xiàng)公式．
（3）存在性問(wèn)題的判斷，先假設(shè)存在，然后利用函數(shù)的單調(diào)性判斷存在有序?qū)崝?shù)對(duì)．

解答： 解：（1）因?yàn)?span id="wqyeuei" class="MathJye">Sn=

n(an-a1)

2

，
令n=1，得a1=

(a1-a1)

2

=0，
所以a₁=0；
或者令n=2，得a1+a2=

2(a2-a1)

2

，
所以：a₁=0
（2）當(dāng)n≥2時(shí)，Sn+1=

(n+1)(an+1-a1)

2

=

(n+1)an+1

2

，an+1=Sn+1-Sn=

(n+1)an+1

2

-

nan

2

，

an+1

an

=

n

n-1

，
推得

an+1

a3

=

n

3-1

，
利用疊乘法求出數(shù)列a_n=n-1
又a₂=1，a₃=2a₂=3，
所以a_n+1=n，
當(dāng)n=1，2時(shí)也成立，
所以a_n=n-1，（n∈N*）
（3）假設(shè)存在正整數(shù)p，q使得b₁，b_p，b_q成等比數(shù)列，
則：lgb₁，lgb_p，lgb_q成等差數(shù)列．
則：

2p

3p

=

q

3q

+

1

3

①
由于等式右邊大于

1

3

，
故

2p

3p

＞

1

3

則：

p

3p

＞

1

6

下面考察數(shù)列{

p

3p

}d的單調(diào)性．
因?yàn)椋?span id="o440yqg" class="MathJye">

p+1

3p+1

-

p

3p

=

1-2p

3p+1

＜0
故數(shù)列{

p

3p

}是單調(diào)遞減數(shù)列．
當(dāng)p=2時(shí)，

p

3p

=

2

9

＞

1

6

代入①式得：：

q

3q

=

1

9

解得：q=3
當(dāng)p≥3時(shí)，

p

3p

≤

1

9

(舍去)
故存在（p，q）為（2，3）使得b₁，b_p，b_q成等比數(shù)列．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：利用遞推關(guān)系式和疊乘法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用函數(shù)的單調(diào)性判斷存在性問(wèn)題．屬于中等題型．