Question

【題目】已知橢圓 的左、右焦點(diǎn)分別為 , ．過 且斜率為 的直線 與橢圓 相交于點(diǎn) , ．當(dāng) 時(shí)，四邊形 恰在以 為直徑，面積為 的圓上．
（Ⅰ）求橢圓 的方程；
（Ⅱ）若 ，求直線 的方程．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）當(dāng) 時(shí)，直線 軸，
又四邊形 恰在以 為直徑，面積為 的圓上，
∴四邊形 為矩形，且 ．
∴點(diǎn) 的坐標(biāo)為 ．
又 ，
∴ ．
設(shè) ，則 ．
在 中， ， ，
∴ ，
∴ ．
∴ ，
∴橢圓 的方程為 ．

（Ⅱ）將 與橢圓方程聯(lián)立得 ，
設(shè) ， ，得 ， ．
故
．
又 ，
∴ ，
即 ，
解得 ，
∴直線 的方程為
【解析】本題考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查橢圓與直線的位置關(guān)系，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意橢圓性質(zhì)、韋達(dá)定理、橢圓與直線的位置關(guān)系的合理運(yùn)用．直線與圓錐曲線的綜合問題是高考的必考點(diǎn)，比方說求封閉面積，求距離，求他們的關(guān)系等等，常用的方法就是聯(lián)立方程求出交點(diǎn)的橫坐標(biāo)或者縱坐標(biāo)的關(guān)系，通過這兩個(gè)關(guān)系的變形去求解．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，需要了解橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸：，焦點(diǎn)在y軸：才能得出正確答案．