Question

17．在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PD⊥PB，PA=PD．
（Ⅰ）求證：PD⊥平面PAB；
（Ⅱ）設(shè)E是棱AB的中點，∠PEC=90°，AB=2，求四棱錐P-ABCD的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由線面垂直的性質(zhì)得AB⊥AD，結(jié)合已知利用線面垂直的判定得PD⊥平面PAB；
（Ⅱ）取AD中點F，由PA=PD可得PF⊥AD，進一步得到PF⊥CE，結(jié)合PE⊥CE得到CE⊥平面PFE，即CE⊥FE，然后設(shè)BC=a，通過解直角三角形求得a，然后求出PF，代入棱錐體積公式得答案．

解答 （Ⅰ）證明：如圖，
∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
且底面ABCD是矩形，即AB⊥AD，∴AB⊥平面PAD，
∴AB⊥PD，又PD⊥PB，AB∩PB=B，
∴PD⊥平面PAB；
（Ⅱ）解：取AD中點F，∵PA=PD，∴PF⊥AD，
又平面PAD⊥平面ABCD，∴PF⊥平面ABCD，
∴PF⊥CE，又∠PEC=90°，即PE⊥CE，PE∩PF=P，
∴CE⊥平面PFE，則CE⊥FE，設(shè)BC=a，
在Rt△CEF中，由FE²+CE²=CF²，得
${a}^{2}+1+\frac{{a}^{2}}{4}+1=\frac{{a}^{2}}{4}+4$，∴a=$\sqrt{2}$．
由PD⊥平面PAB，得PA⊥PD，∴PF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
${S}_{ABCD}=2×\sqrt{2}=2\sqrt{2}$，
∴${V}_{P-ABCD}=\frac{1}{3}×2\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{2}{3}$．

點評 本小題主要考查空間線面關(guān)系、幾何體的體積等知識，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力，是中檔題．