Question

設(shè)函數(shù)f（x）=ln²x-2alnx+a²-1．
（1）若f（x）在區(qū)間[1，e]上恰有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
（2）若f（x）＞a²對任意x∈（e，e²）恒成立，求實(shí)數(shù)a的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,變化的快慢與變化率,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）令t=lnx，由x∈[1，e]得t∈[0，1]；從而化f（x）在區(qū)間[1，e]上恰有一個(gè)零點(diǎn)為y=t²-2at+a²-1在區(qū)間[0，1]上恰有一個(gè)零點(diǎn)；從而可得a∈[-1，0]或a∈[1，2]；
（2）f（x）＞a²對任意x∈（e，e²）恒成立可化為t²-2at-1＞0對任意t∈（1，2）恒成立；a＜

t2-1

2t

對任意t∈（1，2）恒成立；化為最值問題．

解答： 解：（1）令t=lnx，∵x∈[1，e]；
∴t∈[0，1]；
由f（x）在區(qū)間[1，e]上恰有一個(gè)零點(diǎn)化為
y=t²-2at+a²-1在區(qū)間[0，1]上恰有一個(gè)零點(diǎn)；
y=t²-2at+a²-1=（t-（a+1））（t-（a-1））；
故a+1∈[0，1]，或a-1∈[0，1]，
解得a∈[-1，0]或a∈[1，2]；
（2）f（x）＞a²對任意x∈（e，e²）恒成立可化為
t²-2at-1＞0對任意t∈（1，2）恒成立；
a＜

t2-1

2t

對任意t∈（1，2）恒成立；
令F（t）=

t2-1

2t

，F(xiàn)′（t）=

2t2+2

(2t)2

＞0；
故F（t）=

t2-1

2t

在（1，2）上是增函數(shù)，
則a≤F（1）=0；
故實(shí)數(shù)a的最大值為0．

點(diǎn)評：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及恒成立問題，屬于中檔題．