Question

已知兩點(diǎn)M（-5，0），N（5，0），若直線上存在點(diǎn)P使|PM|-|PN|=6，則稱該直線為B型直線，給出下列直線：
①y=x+1
②y=2  
③y=

4

3

x 
④y=2x+1
其中為B型直線的是（　　）

A．①③

B．③④

C．①②

D．②④

Answer 1

分析：根據(jù)雙曲線的定義，可得點(diǎn)P的軌跡是以M、N為焦點(diǎn)，2a=6的雙曲線，由此算出雙曲線的方程為

x2

9

-

y2

16

=1．再分別判斷雙曲線與四條直線的位置關(guān)系，可得只有①②的直線上存在點(diǎn)P滿足B型直線的條件，由此可得答案．

解答：解：∵點(diǎn)M（-5，0），N（5，0），點(diǎn)P使|PM|-|PN|=6，
∴點(diǎn)P的軌跡是以M、N為焦點(diǎn)，2a=6的雙曲線
可得b²=c²-a²=5²-3²=16，雙曲線的方程為

x2

9

-

y2

16

=1
∵雙曲線的漸近線方程為y=±

4

3

x
∴直線y=

4

3

x與雙曲線沒(méi)有公共點(diǎn)，
直線y=2x+1經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，1）斜率k＞

4

3

，與雙曲線也沒(méi)有公共點(diǎn)
而直線y=x+1、與直線y=2都與雙曲線

x2

9

-

y2

16

=1有交點(diǎn)
因此，在y=x+1與y=2上存在點(diǎn)P使|PM|-|PN|=6，滿足B型直線的條件
只有①②正確
故選：C

點(diǎn)評(píng)：本題給出“B型直線”的定義，判斷幾條直線是否為B型直線，著重考查了雙曲線的定義標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與雙曲線的位置關(guān)系等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．