Question

19．設數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，滿足2S_n=a_n+1-2ⁿ⁺¹+1，n∈N^*，且a₁=1，設數(shù)列{b_n}滿足b_n=a_n+2ⁿ．
（1）求證數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列，并求出數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若數(shù)列c_n=$\frac{6n-3}{_{n}}$，T_n是數(shù)列{c_n}的前n項和，證明T_n＜3．

Answer 1

分析 （1）在已知數(shù)列遞推式中取n=n-1，得另一遞推式，兩式作差可得a_n+1=3a_n+2ⁿ，進一步得到b_n+1=a_n+1+2ⁿ⁺¹=3（a_n+2ⁿ）=3b_n，即{b_n}是以3為首項，3為公比的等比數(shù)列，求出等比數(shù)列{b_n}的通項公式可得數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）把（1）中求得的{b_n}的通項公式代入c_n=$\frac{6n-3}{_{n}}$，利用錯位相減法求出數(shù)列{c_n}的前n項和T_n，即可證明T_n＜3．

解答 （1）解：∵2S_n=a_n+1-2ⁿ⁺¹+1，
∴當n≥2時，有$2{S}_{n-1}={a}_{n}-{2}^{n}+1$，
兩式作差得：2a_n=a_n+1-a_n-2ⁿ，即a_n+1=3a_n+2ⁿ，
從而b_n+1=a_n+1+2ⁿ⁺¹=3（a_n+2ⁿ）=3b_n，
故{b_n}是以3為首項，3為公比的等比數(shù)列，
∴b_n=a_n+2ⁿ=3×3^n-1=3ⁿ，
則a_n=3ⁿ-2ⁿ（n≥2），
∵a₁=1也滿足，
于是a_n=3ⁿ-2ⁿ；
（2）證明：c_n=$\frac{6n-3}{bn}$=$\frac{2n-1}{{3}^{n-1}}$，
則T_n=$\frac{1}{{3}^{0}}+\frac{3}{{3}^{1}}+\frac{5}{{3}^{2}}+…+\frac{2n-3}{{3}^{n-2}}+\frac{2n-1}{{3}^{n-1}}$  ①，
$\frac{1}{3}$T_n=$\frac{1}{{3}^{1}}+\frac{3}{{3}^{2}}+\frac{5}{{3}^{3}}+…+\frac{2n-3}{{3}^{n-1}}+\frac{2n-1}{{3}^{n}}$ ②，
①-②得，$\frac{2}{3}$T_n=$\frac{1}{{3}^{0}}+\frac{2}{{3}^{1}}+\frac{2}{{3}^{2}}+…+\frac{2}{{3}^{n-1}}-\frac{2n-1}{{3}^{n}}$
=1+$\frac{2}{3}•\frac{1-\frac{1}{{3}^{n-1}}}{1-\frac{1}{3}}-\frac{2n-1}{{3}^{n}}$=2-$\frac{1}{{3}^{n-1}}-\frac{2n-1}{{3}^{n}}$=2-$\frac{2（n+1）}{{3}^{n}}$，
故T_n=3-$\frac{n+1}{{3}^{n-1}}$＜3．

點評 本題考查數(shù)列遞推式，考查了等比關系的確定，訓練了錯位相減法求數(shù)列的和，是中檔題．