Question

已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=x²+（2-a）x，a≥0，若對(duì)任意x∈R，都有f（x-

2

a）≤f（x），則a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：x＞0時(shí)，f′（x）=2x+2-a，所以0≤a≤2時(shí)，對(duì)于x＞0時(shí)的函數(shù)f（x）是增函數(shù)，根據(jù)奇函數(shù)圖象在對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性及經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的情況即可判斷出f（x）在R上單調(diào)遞增，所以便能得到f（x-

2

a）≤f（x）；a＞2時(shí)，畫(huà)出f（x）及f（x-

2

a）的圖象，通過(guò)圖象即可看出a滿足的范圍，所以對(duì)以上兩種情況的a的范圍求并集即可．

解答： 解：f′（x）=2x+2-a；
∴①0≤a≤2，且x＞0時(shí)，f′（x）＞0；
∴f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
∵f（x）在R上是奇函數(shù)，f（0）=0，且（0，0）滿足x＞0時(shí)的解析式f（x）；
∴函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)；
又a≥0，x-

2

a≤x；
∴對(duì)任意x∈R，f（x-

2

a）≤f（x）；
②a＞2時(shí)，f（x）=0有兩實(shí)根x=0，a-2，根據(jù)f（x）是奇函數(shù)，及x＞0時(shí)的解析式及平移的知識(shí)畫(huà)出f（x），f（x-

2

a）的圖象如下：

由圖象可已看出B點(diǎn)應(yīng)在A點(diǎn)右邊或與A重合；
∴2-a+

2

a≥a-2；
解得a≤2（2+

2

）；
∴2＜a≤2（2+

2

）；
綜上得a的取值范圍為[0，2（2+

2

）]．
故答案為：[0，2（2+

2

）]．

點(diǎn)評(píng)：考查奇函數(shù)的定義，奇函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性，通過(guò)判斷導(dǎo)數(shù)符號(hào)判斷函數(shù)單調(diào)性的方法，根據(jù)單調(diào)性的定義比較兩函數(shù)值大小的方法，平移的知識(shí)，以及數(shù)形結(jié)合的解題方法．