已知點(diǎn)Q（-
6
，1），邊長(zhǎng)為4的正方形內(nèi)接于橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），點(diǎn)F1、F2分別是橢圓的左右焦點(diǎn)．
（1）當(dāng)橢圓的右準(zhǔn)線為x=2
6
時(shí)，求橢圓的方程；
（2）當(dāng)橢圓的離心率為多大時(shí)，雙曲線
x2
a2
-
y2
16b2
=1的焦距最小？并求出此最小焦距．
考點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,直線與圓錐曲線的關(guān)系
專題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題
分析：（1）由于邊長(zhǎng)為4的正方形內(nèi)接于橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），可得點(diǎn)（2，2）在橢圓上，
4
a2
+
4
b2
=1．
由橢圓的右準(zhǔn)線為x=2
6
=
a2
c
，及a2=b2+c2，聯(lián)立解得即可．
（2）由（1）可知：
4
a2
+
4
b2
=1．可得
b2
a2
=
1
4
b2-1．橢圓的離心率e=
1-
b2
a2
=
2-
1
4
b2
．
雙曲線
x2
a2
-
y2
16b2
=1的焦距=2
a2+16b2
=2
b2(
a2
b2
+16)
=2
b2(
4
b2-4
+16)
=4
4(b2-4+
1
b2-4
)+17
，利用基本不等式的性質(zhì)就看得出．
解答： 解：（1）∵邊長(zhǎng)為4的正方形內(nèi)接于橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），
∴點(diǎn)（2，2）在橢圓上，∴
4
a2
+
4
b2
=1．
∵橢圓的右準(zhǔn)線為x=2
6
=
a2
c
，又a2=b2+c2，
聯(lián)立解得c=
6
，a2=12，b2=6．或c=
4
6
3
，a2=16，b2=
16
3
．
∴橢圓的方程為
x2
12
+
y2
6
=1或
x2
16
+
3y2
16
=1．
（2）由（1）可知：
4
a2
+
4
b2
=1．可得
b2
a2
=
1
4
b2-1．
e=
1-
b2
a2
=
2-
1
4
b2

∵雙曲線
x2
a2
-
y2
16b2
=1的焦距=2
a2+16b2
=2
b2(
a2
b2
+16)
=2
b2(
4
b2-4
+16)
=4
4(b2-4+
1
b2-4
)+17
≥4
4×2
(b2-4)•
1
b2-4
+17
=20，當(dāng)且僅當(dāng)b2=5取等號(hào)，雙曲線的最小焦距為20．
橢圓的離心率e=
2-
5
4
=
3
2
．
∴當(dāng)橢圓的離心率為
3
2
時(shí)，雙曲線
x2
a2
-
y2
16b2
=1的焦距最小，最小焦距為20．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，橢圓性質(zhì)的應(yīng)用，考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)命題p：函數(shù)f（x）=lg（ax2-x+
1
16
a）的定義域?yàn)镽；命題q：不等式
2x+1
＜1+ax對(duì)一切正實(shí)數(shù)均成立．如果命題p或q為真命題，命題p且q為假命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在△ABC中，a、b、c分別是∠A、∠B、∠C的對(duì)邊長(zhǎng)，已知（2b-c）cosA-acosC=0．
（1）求∠A的值；
（2）若a=
3
，求△ABC面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

下列三個(gè)命題：
①“一個(gè)平面內(nèi)有三個(gè)點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離相等”是“兩個(gè)平面平行”的充要條件；
②設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件
y≥0
y≤4x
x≤1
，若目標(biāo)函數(shù)z=（a2+b2）x+y的最大值為8，則a+2b的最小值是-2
5
；
③四棱錐P-ABCD，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，側(cè)面PAD為正三角形且垂直底面ABCD，則四棱錐P-ABCD的外接球半徑為
21
3
；
其中正確的有
 
．（只填寫(xiě)命題的序號(hào)）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，已知四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，∠ABC=45°，DC=1，AB=2，PA⊥平面ABCD，PA=1．
（1）求證：BC⊥平面PAC；
（2）求二面角A-PC-D的平面角α的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=x2+（2-a）x，a≥0，若對(duì)任意x∈R，都有f（x-
2
a）≤f（x），則a的取值范圍是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系中，如果x與y都是整數(shù)，就稱點(diǎn)（x，y）為整點(diǎn)，下列命題中正確的是
 
（寫(xiě)出所有正確命題的編號(hào)）．
①存在這樣的直線，既不與坐標(biāo)軸平行又不經(jīng)過(guò)任何整點(diǎn)；
②如果k與b都是無(wú)理數(shù)，則直線y=kx+b不經(jīng)過(guò)任何整點(diǎn)；
③直線l經(jīng)過(guò)無(wú)窮多個(gè)整點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)l經(jīng)過(guò)兩個(gè)不同的整點(diǎn)；
④如果k與b都是有理數(shù)，則直線y=kx+b經(jīng)過(guò)無(wú)窮多個(gè)整點(diǎn)；
⑤存在恰經(jīng)過(guò)一個(gè)整點(diǎn)的直線．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知兩條相交直線a、b，a∥平面α，則b與平面α的位置關(guān)系（　�。�
A、b∥α
B、b與α相交
C、b?α
D、b∥α或b與α相交

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

某校高一級(jí)數(shù)學(xué)必修一模塊考試的成績(jī)分為四個(gè)等級(jí)，85分-100分為A等，70分-84分為B等，55分-69分為C等，54分以下為D等．右邊的莖葉圖（十位為莖，個(gè)位為葉）記錄了某班某小組6名學(xué)生的數(shù)學(xué)必修一模塊考試成績(jī)．
（1）求出莖葉圖中這6個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù)和平均數(shù)；
（2）若從這6名學(xué)生中隨機(jī)抽出2名，分別求恰好有一名學(xué)生的成績(jī)達(dá)到A等的概率和至多有一名學(xué)生的成績(jī)達(dá)到A等的概率．

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同步練習(xí)冊(cè)答案