Question

已知直角梯形ABCD中∠DAB=90°，AD∥BC，AB=2，AD=

3

2

，BC=

1

2

，橢圓F以A、B為焦點且經(jīng)過點D．
（1）建立適當(dāng)坐標(biāo)系，求橢圓F的方程；
（2）若點E滿足

EC

=

1

2

AB

，是否存在不平行于AB的直線L與橢圓F交于M、N兩點，且|ME|=|NE|？若存在，求出直線L與AB夾角的范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）考慮先以AB所在直線為x軸，AB中垂線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)橢圓F方程為：

x2

a2

+

y2

b2

=1，則由題意可得c=1，D（-1，

3

2

）在橢圓上代入可求a，b，從而可求橢圓得方程     
（2）由

EC

=

1

2

AB

可求E（0，

1

2

），若L⊥AB，則與題意不符，可設(shè)L：y=kx+m（k≠0），由直線與橢圓有2個交點可得△＞0，即4k²+3＞m²，利用方程根與系數(shù)關(guān)系可求x0=

x1+x2

2

=-

4km

3+4k2

，y0=kx0+m=

3m

3+4k2

，可得4k2+3＞(-

3+4k2

2

)2從而可求

解答：解：（1）如圖，以AB所在直線為x軸，AB中垂線為y軸
建立平面直角坐標(biāo)系，則A（-1，0），B（1，0）．c=1
設(shè)橢圓F方程為：

x2

a2

+

y2

b2

=1
，D（-1，

3

2

）在橢圓上代入可得

c=1 b2 a = 3 2

⇒

a=2 b= 3

∴橢圓F的方程是：

x2

4

+

y2

3

=1．             （7分）
（2）由

EC

=

1

2

AB

得：E（0，

1

2

），若L⊥AB，則與題意不符，
故可設(shè)L：y=kx+m（k≠0）
由　

y=kx+m x2 4 + y2 3 =1

得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0，
若M、N存在，則△＞0即64k²m²-4（3+4k²）•（4m²-12）＞0，4k²+3＞m²，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN的中點F（x₀，y₀），
則x0=

x1+x2

2

=-

4km

3+4k2

，y0=kx0+m=

3m

3+4k2

，
∴4k2+3＞(-

3+4k2

2

)2∴4k²+3＜4
∴0＜k2＜

1

4

∴-

1

2

＜k＜

1

2

且k≠0
∴L與AB的夾角的范圍是（0，arctan

1

2

）．       （14分）

點評：利用橢圓（拋物線、雙曲線）得性質(zhì)求解相應(yīng)的方程是圓錐曲線得常考試題，解題的關(guān)鍵是要靈活利用圓錐曲線的性質(zhì)．