Question

15．如圖，AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圓的直徑，過(guò)點(diǎn)A作圓的切線交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．
（1）求證：△ABE∽△ADC；
（2）若BD=4CD=4CF=8，求△ABC的外接圓的半徑．

Answer 1

分析 （1）證明三角形中兩對(duì)對(duì)應(yīng)角相等，即可證明結(jié)論；
（2）利用切割線定理，結(jié)合三角形相似的性質(zhì)，即可求△ABC的外接圓的半徑．

解答 （1）證明：∵AE是直徑，∴$∠ABE=\frac{π}{2}=∠ADC$…（1分）
又∵∠AEB=∠ACD…（2分）
∴△ABE∽△ADC…（4分）
（2）解：∵過(guò)點(diǎn)A作圓的切線交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，
∴AF²=FC•FB
∴FA=2$\sqrt{6}$，…（5分）
∴AD=2$\sqrt{2}$…（7分）
∴AC=2$\sqrt{3}$ …（8分）
∴AB=6$\sqrt{2}$，…（9分）
由（1）得$\frac{AB}{AE}=\frac{AD}{AC}$
∴AE=6$\sqrt{3}$
∴△ABC的外接圓的半徑為3$\sqrt{3}$．…（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角形相似的判定與性質(zhì)，考查切割線定理，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．