如圖所示，在直三棱柱中，，平面為的中點．

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）設(shè)是的中點，試求出與

平面所成角的正弦值．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

【答案】

 

證明：(Ⅰ)∵，∴四邊形為正方形，∴，

又∵面，∴，∴面，……………………………3分

∴，又，∴平面．………………………………6分

解法一:(Ⅱ)當(dāng)點為的中點時，

平面，∴平面，

則即為與平面所成角  …………………………………………………9分

在矩形中,由

可知,則,…………………………………………………11分

故,不妨設(shè),則,

故與平面所成角的正弦值為.………………………………………………14分

解法二: 在矩形中,由

可知,則,

故,…………………………………………9分

如圖建立空間直角坐標(biāo)系,不妨設(shè),

則,

可得…………11分

由題意可知即為平面的一個法向量,

故與平面所成角的正弦值為.……………14分

 

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥BC，AA1=AC=BC=2，D、E、F分別是AB、AA1、CC1的中點，P是CD上的點．
（1）求直線PE與平面ABC所成角的正切值的最大值；
（2）求證：直線PE∥平面A1BF；
（3）求直線PE與平面A1BF的距離．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖所示，在直三棱柱ABC-A′B′C′中，∠BAC=90°，AB=BB′=1，直線B′C與平面ABC成30°角．
（1）求證：A′B⊥面AB′C；
（2）求二面角B-B′C-A的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是∠ABC為直角的等腰直角三角形，AC=2a，BB1=3a，D是A1C1的中點，點F在線段AA1上，當(dāng)AF=
a或2a
a或2a
時，CF⊥平面B1DF．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=BB1，AC1⊥平面A1BD，D為AC的中點．
（Ⅰ）求證：B1C1⊥平面ABB1A1；
（Ⅱ）設(shè)E是CC1的中點，試求出A1E與平面A1BD所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=BB1=BC，AC1⊥平面A1BD，D為AC的中點．
（1）求證：B1C∥平面A1BD；
（2）求證：B1C1⊥平面ABB1A1；
（3）在CC1上是否存在一點E，使得∠BA1E=45°，若存在，試確定E的位置，并判斷平面A1BD與平面BDE是否垂直？若不存在，請說明理由．

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