Question

13．設函數f（x）=e^x-ax，a是常數．
（Ⅰ）若a=1，且曲線y=f（x）的切線l經過坐標原點（0，0），求該切線的方程；
（Ⅱ）討論f（x）的零點的個數．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數的導數，表示出切線方程，求出m的值，從而求出切線方程即可；
（Ⅱ）求出函數f（x）的導數，通過討論 a的范圍，求出函數的單調區(qū)間，從而求出函數的零點個數即可．

解答 解：（Ⅰ）a=1時，f（x）=e^x-x，f′（x）=e^x-1 …（1分），
設切點坐標是（m，e^m-m），
則k=f′（m）=e^m-1，
故切線方程是：
y-（e^m-m）=（e^m-1）（x-m） …（3分）
由0-（e^m-m）=（e^m-1）（0-m），得m=1，
所求切線為：y=（e-1）x…（5分）
（Ⅱ）f′（x）=e^x-a，當a＞0時，由f′（x）=0得x=lna…（6分）
（1）a＞0時，若x＜lna，則f′（x）＜0；若x＞lna，則f′（x）＞0．
函數f（x）在區(qū)間（-∞，lna）單調遞減，在區(qū)間（lna，+∞）單調遞增，
f（x）的最小值為f（lna）=a（1-lna）…（7分）
①0＜a＜e時，f（lna）=a（1-lna）＞0，f（x）無零點…（8分）
②a=e時，f（lna）=a（1-lna）=0，f（x）只有一個零點…（9分）
③a＞e時，f（lna）=a（1-lna）＜0，根據f（0）=1＞0與函數的單調性，
f（x）在區(qū)間（-∞，lna）和（lna，+∞）各有一個零點，f（x）共有兩個零點…（10分）
（2）a=0時，f（x）=e^x，f（x）無零點…（11分）
（3）a＜0時，由f（x）=0得，e^x=ax，
故曲線y=e^x與y=ax只有一個交點，所以f（x）只有一個零點．
綜上所述，0≤a＜e時，f（x）無零點；
a＜0或a=e時，f（x）有一個零點；
a＞e時，f（x）有兩個零點…（12分）

點評 本題考查了切線方程問題，考查函數的單調性、最值問題，考查導數的應用以及分類討論思想，是一道綜合題．